Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, x, 0) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se o conjunto W = \{(x,x,0)\in \mathbb{R}^3 \mid x\in \mathbb{R}\}
é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3. Vamos usar os três critérios de subespaço:
  1. conter o vetor zero;
  2. fechamento sob soma;
  3. fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero de V está em W.
Para x=0 temos (0,0,0)\in W.
Logo, W não é vazio e contém o vetor nulo de V.

Passo 3

Verificar o fechamento sob soma.
Sejam
u=(x,x,0)\in W \quad\text{e}\quad v=(y,y,0)\in W.
Então
u+v = (x+y,\;x+y,\;0).
Como x+y\in\mathbb{R}, vemos que u+v também é da forma (z,z,0), logo u+v\in W.

Passo 4

Verificar o fechamento sob multiplicação escalar.
Dado um escalar \alpha\in\mathbb{R} e
u=(x,x,0)\in W,
temos
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha x,\;0).
Como \alpha x\in\mathbb{R}, isso mostra \alpha u\in W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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