Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de
.
$W_{1}=\left{A \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\right}.
$W_{1}=\left{A \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\right}.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
composto pelas matrizes idempotentes de ordem 2, e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
(i) deve conter a matriz zero;
(ii) deve ser fechado sob soma;
(iii) deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
satisfaz
logo
. Assim,
não é vazio.]
Passo 3
Testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
então
, ou seja,
. Para o escalar
calculamos
Como
vemos que
. Logo,
não é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 4
Falta de fechamento por escalar implica que
não satisfaz as condições de subespaço vetorial.