Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de M2(R).
$W_{1}=\left{A \in M_{2}(\mathbb{R}) \mid A^{2}=A\right}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
W1 = ,A in M2(R) mid A^2 = A
composto pelas matrizes idempotentes de ordem 2, e pede para verificar se W1 é subespaço vetorial de M2(R). Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
(i) W1 deve conter a matriz zero;
(ii) W1 deve ser fechado sob soma;
(iii) W1 deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
O = 0 & 0 [6pt] 0 & 0
satisfaz
O^2 = O,
logo O in W1. Assim, W1 não é vazio.]

Passo 3

Testamos fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
A = 1 & 0 [4pt] 0 & 0,
então A^2 = A, ou seja, A in W1. Para o escalar 2 calculamos
2A = 2 & 0 [4pt] 0 & 0 e (2A)^2 = 4 & 0 [4pt] 0 & 0
Como
(2A)^2 neq 2A,
vemos que 2Anotin W1. Logo, W1 não é fechado sob multiplicação por escalar.]

Passo 4

Falta de fechamento por escalar implica que W1 não satisfaz as condições de subespaço vetorial.

Resposta

W1 não é subespaço vetorial de M2(R).

Exercícios relacionados