Scja o subcspaço de R^3 dcfinido
S=(x, y, z) in R^3 mid 2 x-y+3 z=0
Encontre uma base de S e determine dimensão de S

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = (x,y,z)inR^3 mid 2x - y + 3z = 0
em que aparece uma única equação linear em R^3. Isso caracteriza um plano que passa pela origem, logo esperamos dim S = 2. Para encontrar uma base, basta parametrizar a solução da equação e extrair dois vetores geradores linearmente independentes.

Passo 2

Escrevemos a equação
2x - y + 3z = 0
de modo a expressar y em função de x e z. Assim, temos
y = 2x + 3z

Passo 3

Introduzimos parâmetros s e t para x e z:
x = s, z = t, y = 2s + 3t
Logo qualquer vetor em S pode ser escrito como
(x,y,z) = (s,;2s+3t,;t) = s,(1,2,0) + t,(0,3,1)
Dessa forma, S = span(1,2,0),,(0,3,1).

Passo 4

Os vetores (1,2,0) e (0,3,1) são visivelmente linearmente independentes (nenhum é múltiplo escalar do outro). Portanto eles formam uma base de S e o número de vetores na base é
dim S = 2

Resposta

Uma base de S é (1,2,0),,(0,3,1) e dim S = 2.

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