Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de M2(R).
$W_{2}=\left{\left.\left[ lla & b c & d\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert, a+d=b+c\right}.

Passo 1

O enunciado define
W2 = ,a & b c & din M2(R) mid a + d = b + c
e pede para verificar se W2 é subespaço vetorial de M2(R). Para isso usamos a definição de subespaço: precisamos mostrar que
  1. o vetor zero de M2(R) pertence a W2,
  2. W2 é fechado sob soma,
  3. W2 é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

O vetor zero em M2(R) é
0 = 0 & 0 0 & 0.
Como 0 + 0 = 0 + 0, temos que 0in W2.

Passo 3

Tomemos
A=a1 & b1 c1 & d1 e
B=a2 & b2 c2 & d2
em W2. Então
a1+d1=b1+c1 e a2+d2=b2+c2
A soma é
A+B = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
Como
(a1+a2) + (d1+d2) = (a1+d1) + (a2+d2) = (b1+c1) + (b2+c2) = (b1+b2) + (c1+c2),
segue que A+Bin W2. Logo W2 é fechado sob soma.

Passo 4

Seja lambdainR e
A=a & b c & din W2, ou seja a+d=b+c. Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
satisfaz
(lambda a) + (lambda d) = lambda,(a+d) = lambda,(b+c) = (lambda b) + (lambda c),
logo lambda Ain W2. Assim W2 é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W2 é subespaço vetorial de M2(R).

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