Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de R^3 são linearmente dependentes:
(b) (2,-4,6),(-1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores (2,-4,6) e (-1,2,-3) em R^3 é linearmente dependente. O conteúdo aqui é o conceito de dependência linear, que envolve ver se existe combinação linear não trivial desses vetores que resulte no vetor zero.

Passo 2

Lembremos que dois vetores v e w em R^3 são linearmente dependentes se e somente se um deles é múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, existem escalares alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha,v + beta,w = 0

Passo 3

Basta verificar se há um escalar lambda tal que
(2,-4,6) = lambda,(-1,2,-3)
Comparando coordenadas, temos
2 = lambdacdot(-1), -4 = lambdacdot2, 6 = lambdacdot(-3)
Das três igualdades segue lambda = -2 em cada caso, pois
2 = -2cdot(-1), -4 = -2cdot2, 6 = -2cdot(-3)

Passo 4

Como (2,-4,6) = -2,(-1,2,-3), os dois vetores são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente dependentes. Uma combinação não trivial que dá zero é
(2,-4,6) + 2,(-1,2,-3) = (0,0,0)

Resposta

O conjunto (2,-4,6),,(-1,2,-3) é linearmente dependente.

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