Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de
são linearmente dependentes:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá quatro vetores em
:
,
,
,
,
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de dependência linear e a dimensão de .
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de dependência linear e a dimensão de
Passo 2
Sabemos que a dimensão de
é
. Pelo teorema básico de espaços vetoriais, qualquer conjunto com mais de
vetores em
é automaticamente linearmente dependente, pois não pode haver mais de
vetores linearmente independentes.
Passo 3
Para tornar a dependência explícita, observe que
e
Logo,
Isso é uma combinação linear não trivial (os coeficientes não são todos zero) que dá o vetor nulo.
Passo 4
Como encontramos escalares
,
,
,
tais que
segundo a definição, os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Os quatro vetores são linearmente dependentes.