Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de R^3 são linearmente dependentes:
(c) (1,0,0),(-1,1,0),(1,1,1),(-1,1,-1)

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em R^3:
v1=(1,0,0),
v2=(-1,1,0),
v3=(1,1,1),
v4=(-1,1,-1),
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar o conceito de dependência linear e a dimensão de R^3.

Passo 2

Sabemos que a dimensão de R^3 é 3. Pelo teorema básico de espaços vetoriais, qualquer conjunto com mais de 3 vetores em R^3 é automaticamente linearmente dependente, pois não pode haver mais de dim(R^3)=3 vetores linearmente independentes.

Passo 3

Para tornar a dependência explícita, observe que
v1 + v2 = (1,0,0)+(-1,1,0) = (0,1,0),
e
v3 + v4 = (1,1,1)+(-1,1,-1) = (0,2,0) = 2,(0,1,0)
Logo,
v3 + v4 ;-; 2,v1 ;-; 2,v2 ;=; 0
Isso é uma combinação linear não trivial (os coeficientes não são todos zero) que dá o vetor nulo.

Passo 4

Como encontramos escalares alpha1=-2, alpha2=-2, alpha3=1, alpha4=1 tais que
alpha1v1 + alpha2v2 + alpha3v3 + alpha4v4 = 0,
segundo a definição, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os quatro vetores são linearmente dependentes.

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