Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de R^3 são linearmente dependentes:
(d) (0,1,2),(1,2,2),(-1,1,1)

Passo 1

O enunciado diz para verificar se os vetores v1=(0,1,2), v2=(1,2,2) e v3=(-1,1,1) em R^3 são linearmente dependentes. O conteúdo matemático aqui é dependência linear: buscamos saber se existe alguma combinação não trivial que leve ao vetor nulo.

Passo 2

Para três vetores em R^3, uma forma rápida de testar independência linear é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e calcular o seu determinante. Se detneq0, só há solução trivial, logo são linearmente independentes; se det=0, há dependência.

Passo 3

Formamos a matriz
A = 0 & 1 & 2 1 & 2 & 2 -1 & 1 & 1
e vamos calcular det(A) desenvolvendo pela primeira linha.

Passo 4

Pelo desenvolvimento na primeira linha,
det(A) = 0cdotdet2 & 2 1 & 1 -1cdotdet1 & 2 -1 & 1 +2cdotdet1 & 2 -1 & 1
Calculamos
det1 & 2 -1 & 1 =1cdot1 - 2cdot(-1)=3
Logo
det(A) = -1cdot3 + 2cdot3 = -3 + 6 = 3

Passo 5

Como det(A)=3neq0, a única solução de alpha v1+beta v2+gamma v3=0 é alpha=beta=gamma=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores não são linearmente dependentes; eles formam um conjunto linearmente independente.

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