Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(e^y) d x+(x e^y-2 y) d y=0

Passo 1

Temos a EDO e^y,dx + (x e^y - 2y),dy = 0. Ela está na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde M(x,y)=e^y e N(x,y)=x e^y - 2y. Nosso objetivo é verificar se ela é exata e, se for, encontrar a função potencial psi(x,y) cuja diferencial total é essa equação.

Passo 2

Para verificar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(e^y) = e^y
partial Npartial x = partialpartial x(x e^y - 2y) = e^y
Como partial M/partial y = e^y = partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Agora procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y) = e^y
Integrando em relação a x, obtemos
psi(x,y) = integral e^y ,dx = x e^y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Para encontrá-la, usamos
partial psipartial y = x e^y + h'(y)
e impomos que isso seja igual a N(x,y)=x e^y - 2y. Logo,
x e^y + h'(y) = x e^y - 2y
daí
h'(y) = -2y Longrightarrow h(y) = -y^2 + C1
Substituindo em psi,
psi(x,y) = x e^y - y^2 + C1
A solução geral é dada por psi(x,y)=constante.

Resposta

A solução geral é
x e^y - y^2 = C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados