Verifique se as seguintes EDOs são exatas. Caso seja exata, encontre a sua solução geral.
(cos (x)+3 x^2 y) d x+(x^3-y^2) d y=0

Passo 1

Dada a EDO (cos(x)+3x^2y),dx + (x^3 - y^2),dy = 0. Identificamos M(x,y)=cos(x) + 3x^2y e N(x,y)=x^3 - y^2. Para verificar se é exata, vamos checar partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais: partial Mpartial y=3x^2 e partial Npartial x=3x^2. Como são iguais, a EDO é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial phi(x,y) de modo que phix=M e phiy=N. Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral(cos x + 3x^2y),dx = sin x + x^3y + h(y)
Derivando phi em relação a y e igualando a N:
phiy = x^3 + h'(y) = x^3 - y^2 implies h'(y) = -y^2 implies h(y) = -y^33

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos a função potencial
phi(x,y)=sin x + x^3y - y^33
Logo a solução geral implícita da EDO é dada por phi(x,y)=C.

Resposta

[\sin x + x^3y - \frac{y^3}{3} = C]

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