Esboce o gráfico.
f(x)=x^2x^2+9

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=x²/(x²+9). O conteúdo é esboço de gráfico de função racional; vamos precisar determinar domínio, simetria, interceptos, assíntotas, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Domínio: o denominador x²+9 nunca zera para x∈ℝ, então o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Simetria e interceptos: como f(-x)=(-x)²/((-x)²+9)=x²/(x²+9)=f(x), a função é par. O intercepto com o eixo y ocorre em f(0)=0/(0+9)=0, logo o ponto (0,0) é o único intercepto.

Passo 4

Limites e assíntotas: calculando limite em infinito,
limxtopminftyf(x)=limxtopminftyx^2x^2+9=1
Não há assíntotas verticais, e a assíntota horizontal é y=1.

Passo 5

Monotonicidade: derivando,
f'(x)=18x(x^2+9)^2
Como f’(x)<0 para x<0 e f’(x)>0 para x>0, a função decresce em (-∞,0) e cresce em (0,∞), com mínimo global em x=0.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: derivando novamente,
f''(x)=18(x^2-9)(x^2+9)^3
Vê-se f’’(x)<0 para |x|<3 (côncava para baixo) e f’’(x)>0 para |x|>3 (côncava para cima). Há pontos de inflexão em x=±3, com f(±3)=9/(9+9)=1/2.

Passo 7

Esboço final: a curva é simétrica em relação ao eixo y, passa por (0,0), desce até o mínimo em 0 e depois sobe, mudando de concavidade em x=±3, aproximando-se de y=1 quando |x|→∞.

Resposta

O gráfico é par, tem mínimo em (0,0), pontos de inflexão em (±3,1/2), assíntota horizontal y=1 e nenhuma assíntota vertical. A curva decresce de (-∞,0), depois cresce de (0,∞), conforme o esboço descrito.

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