Calcule as seguintes integrais duplas sobre os retângulos dados:
d) integral duplaR x y e^x^2 y d A, R=(x, y): 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1

Passo 1

No enunciado queremos calcular a integral dupla integral duplaR x,y,e^x^2y,dA sobre o retângulo R=[0,1]times[0,1]. O conteúdo é transformar a integral dupla em integrais iteradas e usar uma substituição simples.

Passo 2

Para simplificar, escolhemos integrar primeiro em x, tratando y como constante. Assim consideramos a integral integral0^1 x,y,e^x^2y ,dx.
Fazemos a substituição u = x^2y, então du = 2,x,y,dx e portanto x,y,dx = du/2. Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a y. A integral em x fica
12integral0^y e^u,du = 12l(e^y-1r)

Passo 3

Restou agora integrar em y:
integral0^1 12l(e^y-1r),dy = 12l(integral0^1e^ydy - integral0^11,dyr) = 12l((e-1)-1r) = e-22

Resposta

e-22

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