Uma esfera metálica com raio de 5,0 \mathrm{~cm} está distante de outra esfera metálica com raio de 1,0 \mathrm{~cm}. As duas esferas estão conectadas por um fio condutor, e a esfera maior tem uma carga de 8,0 \mathrm{nC}. Qual é a carga na esfera menor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dois condutores esféricos estão conectados por um fio condutor (estão em contato elétrico).
  • Raio da esfera maior: R_1 = 5{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Raio da esfera menor: R_2 = 1{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Carga inicial presente apenas na esfera maior: Q_{\text{total}} = 8{,}0\\ \mathrm{nC}. (As esferas ficam isoladas do resto do mundo, então essa carga total é conservada.)
  • Pergunta: qual é a carga final na esfera menor? Ou seja, encontrar Q_2 depois que as esferas são conectadas e alcançam equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Conceito físico que precisamos: quando condutores metálicos são conectados por um fio, cargas se movem até que as superfícies em contato tenham o mesmo potencial elétrico. No equilíbrio elétrico entre as duas esferas vale:
V_1 = V_2.
Para uma esfera condutora isolada de raio R carregada com carga Q, o potencial na superfície (relativo ao infinito) é
V = k\,\frac{Q}{R},
onde k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática. Nesta fórmula:
  • V é o potencial elétrico (volts),
  • Q é a carga (coulombs),
  • R é o raio da esfera (metros),
  • k é constante (não precisamos do valor numérico aqui, pois vai cancelar).
Explicação breve e amigável: fora de uma esfera carregada o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual Q localizada no centro; por isso o potencial na superfície é kQ/R. Quando duas esferas estão ligadas, seus potenciais na superfície devem ser iguais, então suas razões Q/R são iguais.

Passo 3

Aplicando a igualdade de potenciais entre as duas esferas:
k\,\frac{Q_1}{R_1} = k\,\frac{Q_2}{R_2}
Como k é comum, podemos simplificar:
\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}.
Além disso, a carga total é conservada (não há fuga externa), portanto:
Q_1 + Q_2 = Q_{\mathrm{total}}.
Aqui:
  • Q_1 é a carga final na esfera maior,
  • Q_2 é a carga final na esfera menor (o que queremos),
  • R_1 e R_2 são os raios dados.

Passo 4

Resolver o sistema para Q_2. Da equação \dfrac{Q_1}{R_1}=\dfrac{Q_2}{R_2} isolamos Q_1:
Q_1 = Q_2\frac{R_1}{R_2}.
Substituindo na conservação de carga:
Q_2\frac{R_1}{R_2} + Q_2 = Q_{\mathrm{total}}.
Colocando Q_2 em evidência:
Q_2\left(\frac{R_1}{R_2}+1\right) = Q_{\mathrm{total}}.
Fazendo a soma no parêntese com denominador comum:
\frac{R_1}{R_2}+1 = \frac{R_1+R_2}{R_2}.
Logo,
Q_2 = Q_{\mathrm{total}}\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2}.
Essa fórmula é bem útil: a carga que vai para cada esfera é proporcional ao seu raio; a esfera menor recebe a fração R_2/(R_1+R_2) da carga total.

Passo 5

Agora aplicamos os números (os raios podem ficar em cm porque aparecem apenas na razão; unidades iguais se cancelam):
Q_2 = 8{,}0\\ \mathrm{nC}\cdot\frac{1{,}0}{5{,}0+1{,}0} = 8{,}0\\ \mathrm{nC}\cdot\frac{1}{6}.
Calculando:
Q_2 = \frac{8{,}0}{6}\\ \mathrm{nC} = 1{,}333\ldots\\ \mathrm{nC}.
Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com os dados):
Q_2 \approx 1{,}33\\ \mathrm{nC}.

Passo 6

Checagem rápida (sossega o coração!): a carga restante na esfera maior será
Q_1 = Q_{\mathrm{total}}-Q_2 = 8{,}0-1{,}333\ldots = 6{,}666\ldots\\ \mathrm{nC},
e verificando a igualdade de potenciais:
\frac{Q_1}{R_1}=\frac{6{,}666\ldots}{5{,}0}=1{,}333\ldots\quad\text{e}\quad\frac{Q_2}{R_2}=\frac{1{,}333\ldots}{1{,}0}=1{,}333\ldots,
está OK — as razões são iguais, logo os potenciais coincidem.

Passo 7

Resumo rápido para a prova (memorização prática): ao ligar duas esferas condutoras isoladas, a carga final em cada uma é proporcional ao seu raio; use
Q_i = Q_{\mathrm{total}}\cdot\frac{R_i}{R_1+R_2}.
Boa! Resistiu ao desespero — mandou bem. Se quiser, eu faço uns exercícios parecidos para treinar.

Resposta

\displaystyle Q_2=1{,}33\\ \mathrm{nC}

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