Uma esfera metálica com raio de
está distante de outra esfera metálica com raio de
. As duas esferas estão conectadas por um fio condutor, e a esfera maior tem uma carga de
. Qual é a carga na esfera menor?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dois condutores esféricos estão conectados por um fio condutor (estão em contato elétrico).
- Raio da esfera maior:
. - Raio da esfera menor:
. - Carga inicial presente apenas na esfera maior:
. (As esferas ficam isoladas do resto do mundo, então essa carga total é conservada.) - Pergunta: qual é a carga final na esfera menor? Ou seja, encontrar
depois que as esferas são conectadas e alcançam equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Conceito físico que precisamos: quando condutores metálicos são conectados por um fio, cargas se movem até que as superfícies em contato tenham o mesmo potencial elétrico. No equilíbrio elétrico entre as duas esferas vale:
Para uma esfera condutora isolada de raio
carregada com carga
, o potencial na superfície (relativo ao infinito) é
onde
é a constante eletrostática. Nesta fórmula:
-
é o potencial elétrico (volts), -
é a carga (coulombs), -
é o raio da esfera (metros), -
é constante (não precisamos do valor numérico aqui, pois vai cancelar).
Explicação breve e amigável: fora de uma esfera carregada o campo elétrico é igual ao de uma carga pontual
localizada no centro; por isso o potencial na superfície é
. Quando duas esferas estão ligadas, seus potenciais na superfície devem ser iguais, então suas razões
são iguais.
Passo 3
Aplicando a igualdade de potenciais entre as duas esferas:
Como
é comum, podemos simplificar:
Além disso, a carga total é conservada (não há fuga externa), portanto:
Aqui:
-
é a carga final na esfera maior, -
é a carga final na esfera menor (o que queremos), -
e são os raios dados.
Passo 4
Resolver o sistema para
. Da equação
isolamos
:
Substituindo na conservação de carga:
Colocando
em evidência:
Fazendo a soma no parêntese com denominador comum:
Logo,
Essa fórmula é bem útil: a carga que vai para cada esfera é proporcional ao seu raio; a esfera menor recebe a fração
da carga total.
Passo 5
Agora aplicamos os números (os raios podem ficar em cm porque aparecem apenas na razão; unidades iguais se cancelam):
Calculando:
Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com os dados):
Passo 6
Checagem rápida (sossega o coração!): a carga restante na esfera maior será
e verificando a igualdade de potenciais:
está OK — as razões são iguais, logo os potenciais coincidem.
Passo 7
Resumo rápido para a prova (memorização prática): ao ligar duas esferas condutoras isoladas, a carga final em cada uma é proporcional ao seu raio; use
Boa! Resistiu ao desespero — mandou bem. Se quiser, eu faço uns exercícios parecidos para treinar.