Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for exata, resolvê-la. As informações dadas são:
- A equação está na forma
. - Extraindo
e do enunciado:
O que se pede:
- Verificar se
é uma equação exata. - Caso seja exata, encontrar a solução geral (a função potencial
tal que ).
Passo 2
O que significa ser exata? Vou explicar direitinho:
- Para uma equação diferencial na forma
, dizemos que ela é exata se existir uma função tal que - Uma condição prática (suficiente quando a região considerada é simplesmente conexa) é:
Aqui significa a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a . - Agora calculamos essas derivadas para a nossa
e .
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a equação é exata (considerando uma região onde
variam livremente, o que é normalmente o caso aqui).
Passo 4
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Para encontrar
integramos
em relação a
, tratando
como constante durante essa integração:
Explicando cada termo:
-
porque é tratado como constante quando integramos em . -
.
Ao integrar incluímos uma “constante de integração” que pode depender de, chamarei de . Assim:
Passo 5
Agora usamos a outra condição
para determinar
. Calcule a derivada parcial de
em relação a
:
Pela definição devemos ter
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados obtemos
Integramos em
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar
na constante final da solução, então basta tomar
ao montar
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, obtemos:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
onde
é uma constante arbitrária. Portanto a família de curvas solução é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar mais seguro): diferenciando implicitamente
temos
que é exatamente a equação original. Beleza — está consistente.