Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
\left(y+e^{x}\right) d x+\left(x+e^{y}\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
\left(y+e^{x}\right)\,dx+\left(x+e^{y}\right)\,dy=0
é exata e, se for exata, resolvê-la. As informações dadas são:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.
  • Extraindo M e N do enunciado: M(x,y)=y+e^{x},\qquad N(x,y)=x+e^{y}.
O que se pede:
  • Verificar se \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é uma equação exata.
  • Caso seja exata, encontrar a solução geral (a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi(x,y)=\text{constante}).

Passo 2

O que significa ser exata? Vou explicar direitinho:
  • Para uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, dizemos que ela é exata se existir uma função \Phi(x,y) tal que \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática (suficiente quando a região considerada é simplesmente conexa) é: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.Aqui \partial M/\partial y significa a derivada parcial de M em relação a y, e \partial N/\partial x é a derivada parcial de N em relação a x.
  • Agora calculamos essas derivadas para a nossa M e N.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y+e^{x}\bigr)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+e^{y}\bigr)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a equação é exata (considerando uma região onde x,y variam livremente, o que é normalmente o caso aqui).

Passo 4

Por ser exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=y+e^{x}.
Para encontrar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante durante essa integração:
\Phi(x,y)=\int \bigl(y+e^{x}\bigr)\,dx = \int y\,dx + \int e^{x}\,dx.
Explicando cada termo:
  • \int y\,dx = y\cdot x porque y é tratado como constante quando integramos em x.
  • \int e^{x}\,dx = e^{x}.
    Ao integrar incluímos uma “constante de integração” que pode depender de y, chamarei de h(y). Assim:
\Phi(x,y)=x y + e^{x} + h(y).

Passo 5

Agora usamos a outra condição \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y) para determinar h(y). Calcule a derivada parcial de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x + h'(y).
Pela definição devemos ter \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=x+e^{y}. Igualando:
x + h'(y) = x + e^{y}.
Cancelando x dos dois lados obtemos
h'(y)=e^{y}.
Integramos em y:
h(y)=\int e^{y}\,dy = e^{y} + C_1,
onde C_1 é uma constante. Podemos incorporar C_1 na constante final da solução, então basta tomar h(y)=e^{y} ao montar \Phi.

Passo 6

Substituindo h(y)=e^{y} na expressão de \Phi, obtemos:
\Phi(x,y)=x y + e^{x} + e^{y}.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária. Portanto a família de curvas solução é
x y + e^{x} + e^{y} = C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar mais seguro): diferenciando implicitamente \Phi(x,y)=C temos
d\Phi=(y+e^{x})\,dx+(x+e^{y})\,dy=0,
que é exatamente a equação original. Beleza — está consistente.

Resposta

x y + e^{x} + e^{y} = C

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