Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, caso seja, resolver (encontrar a solução geral).
As informações relevantes que temos são os coeficientes das diferenciais:
As informações relevantes que temos são os coeficientes das diferenciais:
-
(multiplicando ); -
(multiplicando ).
O que se pede, portanto, é:
- testar a exatidão da forma
; - se for exata, encontrar uma função potencial
tal que e , e escrever a solução implícita .
Passo 2
Explicando a ideia de exatidão (aula rápida e prática): uma equação diferencial na forma
é exata em uma região se existe uma função
com derivadas parciais contínuas tal que
Um teste prático e muito usado é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Se isso vale num domínio adequado (por exemplo todo
aqui), a forma é exata. Vou aplicar exatamente esse teste. (Dica de prova: sempre explique por que você pode trocar ordens de diferenciação — aqui
são polinomiais/seno/cosseno, portanto suaves.)
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias, lembrando que ao derivar em relação a
tratamos
como constante e vice-versa.
Derivada de
em relação a
:
pois
é constante quando derivamos em
.
Derivada de
em relação a
:
pois
é constante quando derivamos em
.
Como
a condição de exatidão é satisfeita. Conclusão: a equação é exata em todo
.
Passo 4
Agora que é exata, existe
com
. Para achar
integro
em relação a
, tratando
como constante:
Fazendo a integral termo a termo:
-
(porque é constante aqui); -
.
Portanto
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Integro em
:
onde
é constante. Essa constante pode ser absorvida depois no
final da solução implícita.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa (até uma constante):
A solução geral da equação diferencial exata é dada pelas curvas de nível de
, ou seja
onde
é constante arbitrária. Podemos então escrever a solução implícita final (eliminando
e juntando em uma única constante
) como