Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
(2 y+\cos x) d x+(2 x-\operatorname{sen} y) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(2y+\cos x)\,dx + (2x-\sin y)\,dy = 0
é exata e, caso seja, resolver (encontrar a solução geral).
As informações relevantes que temos são os coeficientes das diferenciais:
  • M(x,y)=2y+\cos x (multiplicando dx);
  • N(x,y)=2x-\sin y (multiplicando dy).
    O que se pede, portanto, é:
  1. testar a exatidão da forma M\,dx+N\,dy;
  2. se for exata, encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N, e escrever a solução implícita \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Explicando a ideia de exatidão (aula rápida e prática): uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata em uma região se existe uma função \Phi(x,y) com derivadas parciais contínuas tal que
\Phi_x(x,y)=M(x,y)\quad\text{e}\quad \Phi_y(x,y)=N(x,y).
Um teste prático e muito usado é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Se isso vale num domínio adequado (por exemplo todo \mathbb{R}^2 aqui), a forma é exata. Vou aplicar exatamente esse teste. (Dica de prova: sempre explique por que você pode trocar ordens de diferenciação — aqui M,N são polinomiais/seno/cosseno, portanto suaves.)

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias, lembrando que ao derivar em relação a y tratamos x como constante e vice-versa.
Derivada de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y+\cos x)=2,
pois \cos x é constante quando derivamos em y.
Derivada de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-\sin y)=2,
pois -\sin y é constante quando derivamos em x.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=2=\frac{\partial N}{\partial x},
a condição de exatidão é satisfeita. Conclusão: a equação é exata em todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Agora que é exata, existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M. Para achar \Phi integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int(2y+\cos x)\,dx.
Fazendo a integral termo a termo:
  • \int 2y\,dx = 2y\cdot x = 2xy (porque y é constante aqui);
  • \int \cos x\,dx = \sin x.
Portanto
\Phi(x,y)=2xy+\sin x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N. Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2xy+\sin x + h(y)\big)=2x + h'(y).
Essa derivada deve ser igual a N(x,y)=2x-\sin y. Igualando:
2x + h'(y) = 2x - \sin y \quad\Rightarrow\quad h'(y) = -\sin y.
Integro em y:
h(y)=\int -\sin y\,dy = \cos y + C_1,
onde C_1 é constante. Essa constante pode ser absorvida depois no C final da solução implícita.

Passo 6

Substituindo h(y) em \Phi obtemos a função potencial completa (até uma constante):
\Phi(x,y)=2xy+\sin x + \cos y + C_1.
A solução geral da equação diferencial exata é dada pelas curvas de nível de \Phi, ou seja
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos então escrever a solução implícita final (eliminando C_1 e juntando em uma única constante C) como
2xy+\sin x+\cos y = C.

Resposta

2xy+\sin x+\cos y = C

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