Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
\left(3 x^{2}+2 x y\right) d x+\left(x^{2}+2 y\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a equação diferencial
\left(3 x^{2}+2 x y\right) dx+\left(x^{2}+2 y\right) dy=0
é exata; (2) se for exata, resolver (achar a solução geral). As informações dadas que vamos usar são os coeficientes das diferenciais:
M(x,y)=3x^{2}+2xy,\qquad N(x,y)=x^{2}+2y.

Passo 2

O que significa ser uma equação diferencial exata? Vou explicar devagarinho.
  • Uma equação da forma \,M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0\, é exata se existe uma função \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=N(x,y).
Nesse caso a solução geral pode ser escrita implicitamente como \varphi(x,y)=C, onde C é constante.
  • Uma condição prática (suficiente, em regiões onde as derivadas parciais são contínuas e o domínio é simplesmente conectado) para exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui M e N são conhecidas, então vamos calcular essas derivadas parciais e comparar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais relevantes:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2xy\bigr)=2x,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y\bigr)=2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2x, a equação é exata (as derivadas parciais são polinômios, contínuas em todo \mathbb{R}^2, então não há problema de domínio aqui).

Passo 4

Agora vamos achar a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N. Primeiro integro M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int \bigl(3x^{2}+2xy\bigr)\,dx.
Calculemos termo a termo:
\int 3x^{2}\,dx = x^{3}, \qquad \int 2x y\,dx = x^{2}y,
portanto, ao integrar,
\varphi(x,y)=x^{3}+x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (aparece porque a integração em x pode deixar uma “constante” que depende de y).

Passo 5

Agora imponho a outra condição \phi_y=N. Calculo \phi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+x^{2}y + h(y)\bigr)=x^{2}+h'(y).
Como devemos ter \phi_y=N=x^{2}+2y, igualamos:
x^{2}+h'(y)=x^{2}+2y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^{2} + \text{constante}.
Podemos incorporar essa constante final na constante da solução geral, então podemos tomar h(y)=y^{2} para obter a expressão de \varphi.

Passo 6

Substituindo h(y)=y^{2} em \varphi, obtemos a função potencial (até uma constante aditiva):
\varphi(x,y)=x^{3}+x^{2}y+y^{2}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por \varphi(x,y)= constante.

Resposta

x^{3}+x^{2}y+y^{2}=C

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