Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a equação diferencial
é exata; (2) se for exata, resolver (achar a solução geral). As informações dadas que vamos usar são os coeficientes das diferenciais:
Passo 2
O que significa ser uma equação diferencial exata? Vou explicar devagarinho.
- Uma equação da forma
é exata se existe uma função tal que
Nesse caso a solução geral pode ser escrita implicitamente como
, onde
é constante.
- Uma condição prática (suficiente, em regiões onde as derivadas parciais são contínuas e o domínio é simplesmente conectado) para exatidão é
Aqui
e
são conhecidas, então vamos calcular essas derivadas parciais e comparar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais relevantes:
Como
, a equação é exata (as derivadas parciais são polinômios, contínuas em todo
, então não há problema de domínio aqui).
Passo 4
Agora vamos achar a função potencial
tal que
e
. Primeiro integro
em relação a
, tratando
como constante:
Calculemos termo a termo:
portanto, ao integrar,
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque a integração em
pode deixar uma “constante” que depende de
).
Passo 5
Agora imponho a outra condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Como devemos ter
, igualamos:
Integro
em relação a
:
Podemos incorporar essa constante final na constante da solução geral, então podemos tomar
para obter a expressão de
.
Passo 6
Substituindo
em
, obtemos a função potencial (até uma constante aditiva):
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
constante.