Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
x e^x y d x+y e^x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial x e^x y,dx + y e^x y,dy = 0 é exata. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar usar o teste de exatidão que compara as derivadas parciais de M(x,y) e N(x,y).

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x e^x y e N(x,y)=y e^x y. Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=xcdot x e^x y=x^2 e^x y,
partial Npartial x=ycdot y e^x y=y^2 e^x y
Como x^2 e^x yneq y^2 e^x y em geral, o teste de exatidão falha.

Passo 3

Logo, a equação diferencial não satisfaz o critério de exatidão e, portanto, não é exata. Não se procede à integração direta sem o uso de fator integrante.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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