Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y e^{x y} , dx + x e^{x y} , dy = 0 $. Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata e quais passos seguir para resolver nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma $ M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 $ é exata se existir uma função $ F(x, y) $ tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $ devem corresponder às funções $ M $ e $ N $ da nossa equação.
Passo 3
Para verificar se a equação dada é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais. Ou seja, verificar se:
Vamos identificar $ M $ e $ N $:
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Usando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Novamente, aplicando a regra do produto:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Como são iguais, a equação diferencial é exata!
Passo 7
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função $ F(x, y) $ tal que:
Para encontrar $ F $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Passo 8
Fazendo a integração:
Então,
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que precisamos determinar.
Passo 9
Agora, vamos usar a outra condição:
Derivando $ F(x, y) = e^{x y} + h(y) $ em relação a $ y $:
Comparando com $ N $:
Passo 10
Integrando $ h’(y) = 0 $:
Onde $ C $ é uma constante.
Passo 11
Então, a função $ F(x, y) $ é:
Para resolver a equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é $ e^{x y} = C $, onde $ C $ é uma constante.