Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
y e^x y d x+x e^x y d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial $ y e^{x y} , dx + x e^{x y} , dy = 0 $. Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata e quais passos seguir para resolver nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma $ M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 $ é exata se existir uma função $ F(x, y) $ tal que:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Ou seja, as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $ devem corresponder às funções $ M $ e $ N $ da nossa equação.

Passo 3

Para verificar se a equação dada é exata, precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas e ver se elas são iguais. Ou seja, verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos identificar $ M $ e $ N $:
M

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Usando a regra do produto:
partial Mpartial y = partialpartial y ( y e^x y )

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x
Novamente, aplicando a regra do produto:
partial Npartial x = partialpartial x ( x e^x y )

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^x y (1 + x y) e partial Npartial x = e^x y (1 + x y)
Como são iguais, a equação diferencial é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para encontrar $ F $, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
partial Fpartial x = M = y e^x y

Passo 8

Fazendo a integração:
u = x y Rightarrow du = y , dx
Então,
F(x, y) = integral e^u , du = e^u + h(y) = e^x y + h(y)
Onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que precisamos determinar.

Passo 9

Agora, vamos usar a outra condição:
partial Fpartial y = N = x e^x y
Derivando $ F(x, y) = e^{x y} + h(y) $ em relação a $ y $:
F(x, y) = e^x y + h(y)
Comparando com $ N $:
y

Passo 10

Integrando $ h’(y) = 0 $:
h'(y) = 0
Onde $ C $ é uma constante.

Passo 11

Então, a função $ F(x, y) $ é:
F(x, y)
Para resolver a equação diferencial, igualamos $ F(x, y) $ a uma constante:
F(x, y) = e^x y + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é $ e^{x y} = C $, onde $ C $ é uma constante.

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