Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=y^{2};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y' = y^{2}
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Aqui vamos entender e usar o que significa “solução trivial”: é a função identicamente nula, isto é, a função definida por
y(x)\equiv 0\quad\text{para todo }x.
O objetivo deste passo é só deixar claro o que é pedido e qual função vamos testar; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Vamos testar se y(x)\equiv 0 satisfaz a equação. Para essa função temos:
y(x)\equiv 0 \quad\Rightarrow\quad y'(x)\equiv 0,\quad y''(x)\equiv 0.
Substituindo na equação dada:
y''-y' = 0 - 0 = 0
e
y^{2} = 0^{2} = 0.
Portanto a igualdade
y''-y' = y^{2}
fica
0 = 0,
ou seja, é satisfeita para todos os x.

Passo 3

Concluímos que y(x)\equiv 0 é de fato uma solução da equação diferencial dada — portanto a equação possui solução trivial.

Passo 4

Vou explicar rapidamente por que, além de existir, essa solução trivial é a única que corresponde às condições iniciais nulas (isso é útil para a prova).
Transforme a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem definindo
u_{1}=y,\qquad u_{2}=y'.
Então
u_{1}'=u_{2},\qquad u_{2}'=y''=y'+y^{2}=u_{2}+u_{1}^{2}.
Escrevendo em forma vetorial:
\mathbf{u}' = F(\mathbf{u}),\qquad F(\mathbf{u})=\begin{pmatrix}u_{2}\\[4pt] u_{2}+u_{1}^{2}\end{pmatrix}.
A função F é continuamente diferenciável (suas derivadas parciais existem e são contínuas), logo o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf garante unicidade local do problema de valor inicial. Assim, se derem condições iniciais
y(x_{0})=0,\qquad y'(x_{0})=0,
então a solução local única é y\equiv 0. Em outras palavras: a trivialidade é a única solução que passa pela origem no espaço de fases (y,y').]

Passo 5

Comentário amigo: a equação é não linear por causa de y^{2}, então existem outras soluções não triviais para condições iniciais diferentes de (0,0). Mas para verificar apenas a existência da solução trivial, basta o cálculo do Passo 2 e a observação do Passo 4 sobre unicidade quando as condições iniciais são nulas — isso resolve a questão para a prova.

Resposta

Sim. y\equiv 0 é solução trivial.

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