Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela possui solução trivial. Aqui vamos entender e usar o que significa “solução trivial”: é a função identicamente nula, isto é, a função definida por
O objetivo deste passo é só deixar claro o que é pedido e qual função vamos testar; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Vamos testar se
satisfaz a equação. Para essa função temos:
Substituindo na equação dada:
e
Portanto a igualdade
fica
ou seja, é satisfeita para todos os
.
Passo 3
Concluímos que
é de fato uma solução da equação diferencial dada — portanto a equação possui solução trivial.
Passo 4
Vou explicar rapidamente por que, além de existir, essa solução trivial é a única que corresponde às condições iniciais nulas (isso é útil para a prova).
Transforme a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem definindo
Transforme a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem definindo
Então
Escrevendo em forma vetorial:
A função
é continuamente diferenciável (suas derivadas parciais existem e são contínuas), logo o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf garante unicidade local do problema de valor inicial. Assim, se derem condições iniciais
então a solução local única é
. Em outras palavras: a trivialidade é a única solução que passa pela origem no espaço de fases
.]
Passo 5
Comentário amigo: a equação é não linear por causa de
, então existem outras soluções não triviais para condições iniciais diferentes de
. Mas para verificar apenas a existência da solução trivial, basta o cálculo do Passo 2 e a observação do Passo 4 sobre unicidade quando as condições iniciais são nulas — isso resolve a questão para a prova.
Resposta
Sim.
é solução trivial.