Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela possui solução trivial. As informações relevantes são:
- A equação é
. - Por “solução trivial” geralmente entende-se a função identicamente nula
(ou seja, para todo ).
A partir daqui vamos testar sesatisfaz a equação e, para reforçar, encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Definição e teste inicial: a solução trivial é a função
ou seja,
para todo
. A derivada dessa função é
Para que
seja solução da equação dada, é necessário que, para todo
,
Passo 3
Análise do termo do lado direito: a função
não é identicamente zero — ela varia entre
e
e só é zero em pontos isolados (por exemplo em
,
), mas não é zero para todo
. Portanto a igualdade
não vale para todo
. Conclusão imediata:
NÃO satisfaz a equação diferencial em todo o domínio.
Passo 4
Para entender melhor, vamos resolver a equação (método básico): integrar ambos os lados em relação a
. Escrevendo
e integrando,
Isso dá a solução geral
onde
é constante arbitrária. Agora verificar se alguma escolha de
produz a solução trivial: para que
seja identicamente zero precisamos de
Isso exigiria que
fosse constante (igual a
) para todos
, o que é impossível porque
varia. Logo não existe
que torne
.
Passo 5
Resumo didático e conclusão: a solução trivial é
. Testando na equação obtemos
, que não é verdadeira para todo
. A solução geral
também mostra que não há constante
que torne
identicamente zero. Portanto a equação não possui solução trivial.
Resposta
Não — a equação
não possui solução trivial;
não satisfaz a equação.