Verifique se as seguintes equações possuem solução trivial:
y^{\prime}=\cos x;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\cos x
e pede para verificar se ela possui solução trivial. As informações relevantes são:
  • A equação é \,y'=\cos x.
  • Por “solução trivial” geralmente entende-se a função identicamente nula \,y\equiv 0 (ou seja, y(x)=0 para todo x).
    A partir daqui vamos testar se y\equiv 0 satisfaz a equação e, para reforçar, encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Definição e teste inicial: a solução trivial é a função
y(x)\equiv 0,
ou seja, y(x)=0 para todo x. A derivada dessa função é
y'(x)=0\quad\text{para todo }x.
Para que y\equiv 0 seja solução da equação dada, é necessário que, para todo x,
0 = \cos x.

Passo 3

Análise do termo do lado direito: a função \cos x não é identicamente zero — ela varia entre -1 e 1 e só é zero em pontos isolados (por exemplo em x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}), mas não é zero para todo x. Portanto a igualdade
0=\cos x
não vale para todo x. Conclusão imediata: y\equiv 0 NÃO satisfaz a equação diferencial em todo o domínio.

Passo 4

Para entender melhor, vamos resolver a equação (método básico): integrar ambos os lados em relação a x. Escrevendo \dfrac{dy}{dx}=\cos x e integrando,
\int dy = \int \cos x\,dx.
Isso dá a solução geral
y=\sin x + C,
onde C é constante arbitrária. Agora verificar se alguma escolha de C produz a solução trivial: para que y seja identicamente zero precisamos de
\sin x + C = 0\quad\text{para todo }x.
Isso exigiria que \sin x fosse constante (igual a -C) para todos x, o que é impossível porque \sin x varia. Logo não existe C que torne y(x)\equiv 0.

Passo 5

Resumo didático e conclusão: a solução trivial é y\equiv 0. Testando na equação obtemos 0=\cos x, que não é verdadeira para todo x. A solução geral y=\sin x+C também mostra que não há constante C que torne y identicamente zero. Portanto a equação não possui solução trivial.

Resposta

Não — a equação \,y'=\cos x não possui solução trivial; y\equiv 0 não satisfaz a equação.

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