Determine, colocando a matriz ampliada do sistema linear na forma escalonada reduzida, se o sistema homogêneo tem soluções não triviais
\left\{\begin{aligned} x+2 y-z-3 w & =0 \\\\ 2 x+3 y+z+4 w & =0 \\\\ -2 x+y+3 z-2 w & =0 \end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x,y,z,w\) e três equações:
\[\begin{cases} x+2y-z-3w=0,\\[4pt] 2x+3y+z+4w=0,\\[4pt] -2x+y+3z-2w=0. \end{cases}
O que é pedido:
Colocar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada reduzida (RREF).
A partir disso, decidir se o sistema homogêneo tem soluções não triviais (ou seja, soluções além da solução nula ((0,0,0,0)]).
Informações relevantes já extraídas do enunciado:
Trata‑se de um sistema homogêneo (termo independente igual a zero em todas as equações).
A matriz ampliada terá 4 colunas de incógnitas e uma coluna de zeros (coluna ampliada).
Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for menor que o número de incógnitas, haverá soluções não triviais.]
Passo 2
Vamos formar a matriz ampliada (A\mid 0). As colunas correspondem, nesta ordem, às incógnitas x,y,z,w e à coluna de termos independentes (todos zeros):
Explicação rápida: cada linha é uma equação; por exemplo, a primeira linha (1,2,-1,-3\mid0) representa 1\cdot x+2\cdot y-1\cdot z-3\cdot w=0.]
Passo 3
Começamos a reduzí‑la por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra). Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Observações finais sobre existência de soluções não triviais:
O posto (número de pivôs) da matriz dos coeficientes é 3.
O número de incógnitas é 4.
Como \text{rank}(A)=3<4, a dimensão do espaço de soluções (nullidade) é 4-3=1: há um parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções não triviais (qualquer t\neq0 dá solução não nula).]
Resposta
Sim. O sistema tem infinitas soluções não triviais; a solução geral é