Determine, colocando a matriz ampliada do sistema linear na forma escalonada reduzida, se o sistema homogêneo tem soluções não triviais
\left\{\begin{aligned} x+2 y-z-3 w & =0 \\\\ 2 x+3 y+z+4 w & =0 \\\\ -2 x+y+3 z-2 w & =0 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo com quatro incógnitas x,y,z,w\) e três equações: \[\begin{cases} x+2y-z-3w=0,\\[4pt] 2x+3y+z+4w=0,\\[4pt] -2x+y+3z-2w=0. \end{cases}
O que é pedido:
  • Colocar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada reduzida (RREF).
  • A partir disso, decidir se o sistema homogêneo tem soluções não triviais (ou seja, soluções além da solução nula ((0,0,0,0)]).
Informações relevantes já extraídas do enunciado:
  • Trata‑se de um sistema homogêneo (termo independente igual a zero em todas as equações).
  • A matriz ampliada terá 4 colunas de incógnitas e uma coluna de zeros (coluna ampliada).
  • Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for menor que o número de incógnitas, haverá soluções não triviais.]

Passo 2

Vamos formar a matriz ampliada (A\mid 0). As colunas correspondem, nesta ordem, às incógnitas x,y,z,w e à coluna de termos independentes (todos zeros):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 & 4 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação rápida: cada linha é uma equação; por exemplo, a primeira linha (1,2,-1,-3\mid0) representa 1\cdot x+2\cdot y-1\cdot z-3\cdot w=0.]

Passo 3

Começamos a reduzí‑la por operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra). Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: (2-2\cdot1,\;3-2\cdot2,\;1-2\cdot(-1),\;4-2\cdot(-3),\;0-2\cdot0) =(0,\,-1,\;3,\;10,\;0).
  • R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1: R_3: (-2+2\cdot1,\;1+2\cdot2,\;3+2\cdot(-1),\;-2+2\cdot(-3),\;0+2\cdot0) =(0,\;5,\;1,\;-8,\;0).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 10 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

É conveniente ter pivôs iguais a 1. Multiplicamos a segunda linha por -1 para obter pivô 1 na coluna 2:
  • R_2 \leftarrow -R_2: R_2=(0,\;1,\;-3,\;-10,\;0).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -10 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Zeramos as demais entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô em R_2).
  • R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2: R_1: (1,\;2-2\cdot1,\;-1-2\cdot(-3),\;-3-2\cdot(-10),\;0) =(1,\;0,\;5,\;17,\;0).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2: R_3: (0,\;5-5\cdot1,\;1-5\cdot(-3),\;-8-5\cdot(-10),\;0) =(0,\;0,\;16,\;42,\;0).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 17 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -10 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 16 & 42 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora fazemos o pivô na coluna 3: tornamos a entrada 16 em 1 dividindo a terceira linha por 16.
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{16}R_3: R_3=(0,\;0,\;1,\;\tfrac{42}{16},\;0)=(0,\;0,\;1,\;\tfrac{21}{8},\;0).
A matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 17 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -10 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{21}{8} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Eliminamos as entradas acima do pivô da coluna 3 (tornar zeros em colunas de cima):
  • R_1 \leftarrow R_1 - 5R_3: R_1: (1,\;0,\;5-5\cdot1,\;17-5\cdot\tfrac{21}{8},\;0) =(1,\;0,\;0,\;17-\tfrac{105}{8},\;0) =(1,\;0,\;0,\;\tfrac{136-105}{8},\;0) =(1,\;0,\;0,\;\tfrac{31}{8},\;0).
  • R_2 \leftarrow R_2 + 3R_3: R_2: (0,\;1,\;-3+3\cdot1,\;-10+3\cdot\tfrac{21}{8},\;0) =(0,\;1,\;0,\;-10+\tfrac{63}{8},\;0) =(0,\;1,\;0,\;-\tfrac{80-63}{8},\;0) =(0,\;1,\;0,\;-\tfrac{17}{8},\;0).
A matriz em forma escalonada reduzida (RREF) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{31}{8} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{17}{8} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{21}{8} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Interpretação da RREF e parametrização das soluções.
Cada linha corresponde a uma equação reduzida:
\begin{aligned} &x + \tfrac{31}{8}w = 0,\\[4pt] &y - \tfrac{17}{8}w = 0,\\[4pt] &z + \tfrac{21}{8}w = 0. \end{aligned}
A variável w não tem pivô na sua coluna, logo é variável livre. Tomamos um parâmetro t\in\mathbb{R} e escrevemos w=t. Das equações acima:
\begin{aligned} x &= -\tfrac{31}{8}\,t,\\[4pt] y &= \tfrac{17}{8}\,t,\\[4pt] z &= -\tfrac{21}{8}\,t,\\[4pt] w &= t. \end{aligned}
Podemos escrever a solução geral como vetor:
\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix} = t\cdot \begin{pmatrix}-\tfrac{31}{8}\\[4pt]\tfrac{17}{8}\\[4pt]-\tfrac{21}{8}\\[4pt]1\end{pmatrix} = \dfrac{t}{8}\begin{pmatrix}-31\\[4pt]17\\[4pt]-21\\[4pt]8\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Observações finais sobre existência de soluções não triviais:
  • O posto (número de pivôs) da matriz dos coeficientes é 3.
  • O número de incógnitas é 4.
  • Como \text{rank}(A)=3<4, a dimensão do espaço de soluções (nullidade) é 4-3=1: há um parâmetro livre e, portanto, infinitas soluções não triviais (qualquer t\neq0 dá solução não nula).]

Resposta

Sim. O sistema tem infinitas soluções não triviais; a solução geral é
\left(x,y,z,w\right)=\left(-\tfrac{31}{8}t,\;\tfrac{17}{8}t,\;-\tfrac{21}{8}t,\;t\right),\quad t\in\mathbb{R}.

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