Verifique se as seguintes funções definem produto interno em \mathbb{R}^{2} :
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}

Passo 1

O enunciado define a aplicação \langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2}
em \mathbb{R}^{2}. Para ser produto interno precisamos que essa forma seja bilinear, simétrica e positiva definida.

Passo 2

A forma é bilinear porque em cada argumento aparece apenas soma de produtos escalares (por exemplo, em relação a (x_{1},y_{1}) é linear em x_{1} e em y_{1}), e é simétrica pois
\langle(x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})\rangle = x_{2}x_{1} - y_{2}y_{1} = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} = \langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle.

Passo 3

Para verificar positividade, calcule
\langle(x,y),(x,y)\rangle = x^{2} - y^{2}.
Se escolhermos um vetor não nulo, por exemplo (1,2), temos
\langle(1,2),(1,2)\rangle = 1^{2} - 2^{2} = -3 < 0,
ou seja, a forma não é sempre positiva para vetores não nulos.

Resposta

A aplicação não define um produto interno em \mathbb{R}^{2}, pois falha na propriedade de positividade definida.

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