Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia.
, em que
e
é uma constante
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
, com
e
constante, e pede para:
- verificar se essa
é de fato uma autofunção da equação de Schrödinger (tempo-independente); - determinar o autovalor de energia correspondente.
Informações relevantes dadas:, potencial (partícula livre), constante (pode ser real).
Passo 2
Esclarecendo o que precisamos usar: a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
Aqui
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia (autovalor) e o operador diferencial
é o Hamiltoniano
. Ser autofunção significa que, ao aplicar
sobre
, obtemos um múltiplo escalar de
:
.
Passo 3
Como o potencial é
, a equação se reduz a
Nosso trabalho é calcular a segunda derivada de
e verificar se a equação acima é satisfeita para algum
— esse
será o autovalor de energia.
Passo 4
Calculemos a primeira e a segunda derivadas de
.
A primeira derivada é
A primeira derivada é
pois a derivada de
é
e aqui
tem
.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
Expliquei passo a passo:
.
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na equação reduzida:
Reconhecemos o lado direito como um múltiplo escalar de
. Assim a equação toma a forma
o que mostra que
é realmente uma autofunção do Hamiltoniano (com
) e que o autovalor de energia é
Passo 6
Interpretação física e comentários práticos (útil para prova): a função
é também autofunção do operador momento com autovalor
. A energia obtida pode ser escrita como
que é a energia cinética clássica em termos de
. Note que a onda
definida em toda a reta não é quadrado-integrável (ou seja, não é normalizável no sentido usual); em física usa-se essa função como autofunção generalizada (delta-normalizada) ou então coloca-se o sistema em uma caixa de comprimento
com condições de contorno periódicas, onde a função normalizada seria
e
fica discretizado. Também observe que
e
dão a mesma energia, porque
depende de
.