Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia.
\psi(x)=e^{i k x}, em que V=0 e k é uma constante

Passo 1

O enunciado dá a função de onda \psi(x)=e^{i k x}, com V=0 e k constante, e pede para:
  1. verificar se essa \psi(x) é de fato uma autofunção da equação de Schrödinger (tempo-independente);
  2. determinar o autovalor de energia correspondente.
    Informações relevantes dadas: \psi(x)=e^{i k x}, potencial V(x)=0 (partícula livre), k constante (pode ser real).

Passo 2

Esclarecendo o que precisamos usar: a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, E é a energia (autovalor) e o operador diferencial -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}+V(x) é o Hamiltoniano H. Ser autofunção significa que, ao aplicar H sobre \psi, obtemos um múltiplo escalar de \psi: H\psi=E\psi.

Passo 3

Como o potencial é V(x)=0, a equação se reduz a
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\psi.
Nosso trabalho é calcular a segunda derivada de \psi(x)=e^{i k x} e verificar se a equação acima é satisfeita para algum E — esse E será o autovalor de energia.

Passo 4

Calculemos a primeira e a segunda derivadas de \psi(x)=e^{i k x}.
A primeira derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{i k x}\bigr)=i k e^{i k x},
pois a derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} e aqui u(x)=i k x tem u'(x)=i k.
A segunda derivada é
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl(e^{i k x}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(i k e^{i k x}\bigr)=i k\cdot i k\, e^{i k x}=(i k)^{2} e^{i k x}=-k^{2} e^{i k x}.
Expliquei passo a passo: (i k)^{2}=i^{2}k^{2}=-1\cdot k^{2}=-k^{2}.

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação reduzida:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} =-\frac{\hbar^{2}}{2m}\bigl(-k^{2} e^{i k x}\bigr) =\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,e^{i k x}.
Reconhecemos o lado direito como um múltiplo escalar de \psi(x)=e^{i k x}. Assim a equação toma a forma
\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\,e^{i k x}=E\,e^{i k x},
o que mostra que \psi é realmente uma autofunção do Hamiltoniano (com V=0) e que o autovalor de energia é
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.

Passo 6

Interpretação física e comentários práticos (útil para prova): a função e^{i k x} é também autofunção do operador momento com autovalor p=\hbar k. A energia obtida pode ser escrita como
E=\frac{p^{2}}{2m}=\frac{(\hbar k)^{2}}{2m},
que é a energia cinética clássica em termos de p. Note que a onda e^{i k x} definida em toda a reta não é quadrado-integrável (ou seja, não é normalizável no sentido usual); em física usa-se essa função como autofunção generalizada (delta-normalizada) ou então coloca-se o sistema em uma caixa de comprimento L com condições de contorno periódicas, onde a função normalizada seria \psi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{L}}e^{ikx} e k fica discretizado. Também observe que k e -k dão a mesma energia, porque E depende de k^{2}.

Resposta

\psi(x)=e^{i k x} é autofunção do Hamiltoniano com V=0 e o autovalor de energia é \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}.

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