Calcule as seguintes integrais:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2 x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }x^{3}-2x,\qquad \text{limites de integração: }a=-1,\; b=2.çã
Pergunta: determinar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que uma constante pode ser tirada da integral. Em fórmula:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx
\int_{a}^{b}c\cdot f(x)\,dx=c\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Aplicando ao nosso integrando:
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx=\int_{-1}^{2}x^{3}\,dx-2\int_{-1}^{2}x\,dx.
Essa etapa só separa o problema em duas integrais mais simples.

Passo 3

Para calcular cada integral indefinida vamos usar a regra do potenciamento (regra da primitiva): para todo número n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência e a fórmula nos dá uma função cuja derivada é x^n.
Exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} obtemos x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do potenciamento às funções do integrando:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+C_1,
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_2.
Voltando à expressão combinada (e lembrando que, para integral definida, as constantes desaparecem quando avaliamos os limites), uma primitiva conveniente do integrando \,x^{3}-2x é
F(x)=\frac{x^{4}}{4}-2\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{4}}{4}-x^{2}.
Expliquei: multipliquei o 2 pela primitiva de x e simplifiquei 2\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=x^{2}.

Passo 5

Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então a integral definida é
\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).
No nosso caso f(x)=x^{3}-2x e escolhemos F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{2}. Portanto
\int_{-1}^{2}\left(x^{3}-2x\right)\,dx=F(2)-F(-1).

Passo 6

Calcule F(2). Substituindo x=2 em F:
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-2^{2}=\frac{16}{4}-4=4-4=0.

Passo 7

Calcule F(-1). Substituindo x=-1 em F:
F(-1)=\frac{(-1)^{4}}{4}-(-1)^{2}=\frac{1}{4}-1=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{3}{4}.

Passo 8

Agora faça a diferença F(2)-F(-1):
F(2)-F(-1)=0-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{3}{4}.
Interpretação rápida: o resultado é positivo, indicando que a área algébrica sob a curva entre -1 e 2 é \tfrac{3}{4}.

Resposta

\frac{3}{4}

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