Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Pergunta: determinar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Usamos a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que uma constante pode ser tirada da integral. Em fórmula:
Aplicando ao nosso integrando:
Essa etapa só separa o problema em duas integrais mais simples.
Passo 3
Para calcular cada integral indefinida vamos usar a regra do potenciamento (regra da primitiva): para todo número
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da potência e a fórmula nos dá uma função cuja derivada é
.
Exemplo rápido para fixar:
porque ao derivar
obtemos
.
Passo 4
Aplicando a regra do potenciamento às funções do integrando:
Voltando à expressão combinada (e lembrando que, para integral definida, as constantes desaparecem quando avaliamos os limites), uma primitiva conveniente do integrando
é
Expliquei: multipliquei o
pela primitiva de
e simplifiquei
.
Passo 5
Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
(ou seja,
), então a integral definida é
No nosso caso
e escolhemos
. Portanto
Passo 6
Calcule
. Substituindo
em
:
Passo 7
Calcule
. Substituindo
em
:
Passo 8
Agora faça a diferença
:
Interpretação rápida: o resultado é positivo, indicando que a área algébrica sob a curva entre
e
é
.