Verifique se as seguintes funções são contínuas. f) y=f(x)=e^tg(x)-1e^tg(x)+1

Passo 1

A questão pede para verificar se a função f(x) = e^tan(x) - 1e^tan(x) + 1 é contínua. O conteúdo é continuidade e composição de funções. Vamos usar que funções elementares (como tangente e exponencial) e operações algébricas preservam continuidade, desde que não haja problemas de domínio nem divisão por zero.

Passo 2

Identificar o domínio de f. Sabemos que tan(x) não está definida em x = pi/2 + kpi, com kin Z. Assim, o domínio é:
$$
\mathbb{R}\setminus{,\tfrac{\pi}{2} + k\pi : k\in\mathbb{Z}}\n$$

Passo 3

Mostrar que tan(x) é contínua em cada ponto do domínio, e que a exponencial e^u é contínua para todo uinR. Como a composição de funções contínuas é contínua, e^tan(x) é contínua no domínio.

Passo 4

Observar que o numerador e o denominador, e^tan(x) - 1 e e^tan(x) + 1, são contínuos e que o denominador nunca é zero, pois e^tan(x) > 0 implica e^tan(x) + 1 > 1. Assim, o quociente de funções contínuas com denominador não nulo é contínuo.

Passo 5

Concluir que f(x) é contínua em todo ponto de seu domínio.

Resposta

A função é contínua para todo xinR exceto nos pontos x = tfracpi2 + kpi, kinZ.

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