Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}\llbracket x+3 \rrbracket & \text { se } x<0 \\\ \frac{(x+1)^{3}-1}{x} & \text { se } x \geq 0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \lfloor x+3\rfloor, & x<0,\\[6pt] \dfrac{(x+1)^3-1}{x}, & x\ge0, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade de f. Vamos analisar separadamente os casos x<0, x>0 e o ponto x=0.]

Passo 2

Para x<0, f(x)=\lfloor x+3\rfloor. A função x\mapsto x+3 é contínua, mas o piso \lfloor t\rfloor tem descontinuidades de salto sempre que t\in\mathbb{Z}. Logo f é constante em cada intervalo entre inteiros de x+3 e apresenta descontinuidade sempre que
x+3=k,\quad k\in\mathbb{Z},
isto é, em cada x=k-3. Entre esses pontos, f é contínua.

Passo 3

Para x>0,
\frac{(x+1)^3-1}{x} =\frac{x^3+3x^2+3x+1-1}{x} =x^2+3x+3,
que é um polinômio. Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}, então f é contínua para todo x>0.

Passo 4

No ponto x=0 temos:
pela esquerda,
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}\lfloor x+3\rfloor =\lfloor3\rfloor =3;
pela direita,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x^2+3x+3) =3.
Os limites laterais coincidem em 3, mas
f(0)=\frac{(0+1)^3-1}{0}=\frac{0}{0}
não está definido. Logo há uma descontinuidade removível em x=0.

Resposta

f é contínua em cada intervalo onde se aplica apenas um ramo contínuo:
– Para x<0, é contínua em cada intervalo entre os pontos x tais que x+3\notin\mathbb{Z}, e tem descontinuidades de salto em x+3\in\mathbb{Z}.
– Para x>0, é contínua pois coincide com o polinômio x^2+3x+3.
Em x=0 existe descontinuidade removível: \lim_{x\to0}f(x)=3, mas f(0) não está definido.

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