Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x)+2 & \text { se } x \leq 0 \\\ \frac{x}{x+1} & \text { se } x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} \sin(x)+2, & x\le0,\\\ \dfrac{x}{x+1}, & x>0, \end{cases}
e pede para verificar onde f é contínua. O conteúdo utilizado será a definição de continuidade de funções por partes: cada ramo contínuo em seu intervalo mais a checagem dos limites laterais no ponto de junção x=0.

Passo 2

Para x<0, temos f(x)=\sin(x)+2, que é composição de funções contínuas ( \sin e soma de constantes), logo é contínua em todo (-\infty,0).
Para x>0, temos f(x)=x/(x+1), quociente de funções polinomiais com denominador não nulo em (0,\infty), logo é contínua em todo (0,\infty).

Passo 3

Agora checamos a continuidade em x=0. Primeiro computamos o valor de f em 0:
f(0)=\sin(0)+2=0+2=2.
Em seguida, os limites laterais em 0:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(\sin(x)+2) =0+2=2,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x+1} =\frac{0}{0+1}=0.

Passo 4

Como \lim_{x\to0^-}f(x)=2\neq0=\lim_{x\to0^+}f(x), os limites laterais em 0 são diferentes, portanto f não é contínua em x=0. Nos demais pontos x\neq0, cada ramo é contínuo no seu domínio de definição.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R} com exceção de x=0, onde ocorre descontinuidade.

Exercícios relacionados