Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x)+2 & \text { se } x \leq 0 \\\ \frac{x}{x+1} & \text { se } x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} \operatorname{sen}(x)+2, & x\le0,\\\ \dfrac{x}{x+1}, & x>0, \end{cases}
e pede para verificar onde ela é contínua. O conteúdo aqui é definição de continuidade e propriedades de funções elementares.

Passo 2

Para x<0, a função é f(x)=\sin(x)+2. Como soma de funções contínuas ( \sin(x) e constante), f é contínua em todo o intervalo (-\infty,0). Para x>0, a função é f(x)=\dfrac{x}{x+1}. Trata-se de quociente de polinômios, contínuo sempre que o denominador é não nulo; em x>0 temos x+1>1, logo não há problema, e f é contínua em (0,\infty).

Passo 3

Falta checar x=0. Pela definição de continuidade num ponto a, é preciso que
  1. f(0) exista,
  2. o limite \lim_{x\to0}f(x) exista e seja igual a f(0).
Aqui f(0)=\sin(0)+2=2.
O limite pela esquerda é
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}[\sin(x)+2]=\sin(0)+2=2.
O limite pela direita é
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x+1}=\frac{0}{0+1}=0.
Como 2\neq0, o limite bilateral não existe, e portanto f não é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de (-\infty,0) e de (0,\infty), mas é descontínua em x=0.

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