Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}2 x-5 & \text { se } x \leq 1 \\\\ 3 x^{2}+x-7 & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x-5, & x\le1,\\\\ 3x^2+x-7, & x>1, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua. O conteúdo é continuidade de funções polinomiais e checar o ponto de transição x=1.

Passo 2

Para x<1 vale f(x)=2x-5, que é um polinômio (reta). Todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}, logo f é contínua no intervalo (-\infty,1).

Passo 3

Para x>1 vale f(x)=3x^2+x-7, que também é um polinômio. Assim, f é contínua em (1,\infty).

Passo 4

Em x=1 precisamos ver se
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).
Calculando:
\lim_{x\to1^-}f(x)=2\cdot1-5=-3,
\lim_{x\to1^+}f(x)=3\cdot1^2+1-7=-3,
e
f(1)=2\cdot1-5=-3.
Como todos os três valores são iguais, f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}.

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