Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}1-x^{2} & \text { se } x<-1 \\\ \ln \left(2-x^{2}\right) & \text { se } -1 \leq x \leq 1 \\\ \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1 - x^{2}, & x < -1,\\\ \ln\bigl(2 - x^{2}\bigr), & -1 \le x \le 1,\\\ \sqrt{\displaystyle\frac{x-1}{\,x+1\,}}, & x > 1. \end{cases}
Queremos verificar se f é contínua em todo o seu domínio. Para isso, usamos que:
  1. Cada parte é composta por funções elementares contínuas (polinômio, logaritmo e raiz) em seus domínios.
  2. É preciso checar a continuidade nos pontos de transição x=-1 e x=1.

Passo 2

Em cada intervalo aberto a composição de funções contínuas é contínua:
  • Para x < -1, f(x)=1 - x^{2} é um polinômio, logo contínua em (-\infty,-1).
  • Para -1 < x < 1, f(x)=\ln(2 - x^{2}) é contínua sempre que 2 - x^{2} > 0. Como -1 < x < 1 implica x^{2} < 1, tem-se 2 - x^{2} > 1 > 0, logo contínua em (-1,1).
  • Para x > 1, f(x)=\sqrt{\tfrac{x-1}{x+1}} é contínua sempre que \tfrac{x-1}{x+1}\ge0. Em x>1 ambos numerador e denominador são positivos, então a raiz está bem definida e contínua em (1,\infty).

Passo 3

Verificação em x=-1:
\lim_{x\to(-1)^{-}}f(x)=\lim_{x\to -1^{-}}\bigl(1 - x^{2}\bigr)=1 - (-1)^{2}=0.
f(-1)=\ln\bigl(2 - (-1)^{2}\bigr)=\ln(1)=0.
\lim_{x\to(-1)^{+}}f(x)=\lim_{x\to -1^{+}}\ln\bigl(2 - x^{2}\bigr)=\ln(1)=0.
Portanto, \lim_{x\to -1}f(x)=0=f(-1), logo f é contínua em x=-1.

Passo 4

Verificação em x=1:
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=\lim_{x\to1^{-}}\ln\bigl(2 - x^{2}\bigr)=\ln(1)=0.
f(1)=\ln\bigl(2 - 1^{2}\bigr)=\ln(1)=0.
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=\lim_{x\to1^{+}}\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt{\frac{0}{2}}=0.
Temos \lim_{x\to1}f(x)=0=f(1), logo f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo o seu domínio (isto é, em todos os reais).

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