f(x)= \begin{cases}1-x^{2} & \text { se } x<-1 \\\ \ln \left(2-x^{2}\right) & \text { se } -1 \leq x \leq 1 \\\ \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} & \text { se } x>1\end{cases}
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} 1 - x^{2}, & x < -1,\\\ \ln\bigl(2 - x^{2}\bigr), & -1 \le x \le 1,\\\ \sqrt{\displaystyle\frac{x-1}{\,x+1\,}}, & x > 1. \end{cases}
Queremos verificar se f é contínua em todo o seu domínio. Para isso, usamos que:
Cada parte é composta por funções elementares contínuas (polinômio, logaritmo e raiz) em seus domínios.
É preciso checar a continuidade nos pontos de transição x=-1 e x=1.
Passo 2
Em cada intervalo aberto a composição de funções contínuas é contínua:
Para x < -1, f(x)=1 - x^{2} é um polinômio, logo contínua em (-\infty,-1).
Para -1 < x < 1, f(x)=\ln(2 - x^{2}) é contínua sempre que 2 - x^{2} > 0. Como -1 < x < 1 implica x^{2} < 1, tem-se 2 - x^{2} > 1 > 0, logo contínua em (-1,1).
Para x > 1, f(x)=\sqrt{\tfrac{x-1}{x+1}} é contínua sempre que \tfrac{x-1}{x+1}\ge0. Em x>1 ambos numerador e denominador são positivos, então a raiz está bem definida e contínua em (1,\infty).