Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3^{x} & \text { se } x \geq 0 \\\\ 2 L+x & \text { se } x<0\end{array} \quad\right. no ponto 0

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3^{x},&x\ge0,\\\\ 2L+x,&x<0, \end{cases}
e pede L para que f seja contínua em x=0. Para isso, usamos o fato de que uma função é contínua num ponto se, e somente se, o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função naquele ponto coincidem.

Passo 2

Calculamos o valor à direita em 0, isto é, o valor da função em x=0 pela definição de x\ge0:
f(0)=3^{0}=1.

Passo 3

Calculamos o limite à esquerda em 0, usando a regra para x<0:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(2L+x) =2L+0 =2L.

Passo 4

Para continuidade em 0, exigimos
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0),
ou seja,
2L=1.
Resolvendo para L obtém-se
L=\frac12.

Resposta

L=\tfrac12

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