Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3^{x} & \text { se } x \geq 0 \\\\ 2 L+x & \text { se } x<0\end{array} \quad\right. no ponto 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 3^{x},&\text{se }x\ge0,\\\\ 2L + x,&\text{se }x<0, \end{cases}
e pede L de modo que f seja contínua em x=0. O conceito-chave é que, para continuidade em 0, o valor f(0) deve coincidir com os limites laterais em 0.

Passo 2

Calculamos o valor de f em 0 usando a definição para x\ge0:
f(0)=3^{0}=1.

Passo 3

Agora achamos o limite pela esquerda em 0, isto é, para x<0:
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(2L+x)=2L+0=2L.

Passo 4

Para que f seja contínua em 0, precisamos de
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0),
ou seja
2L=1\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle L=\tfrac{1}{2}

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