Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi}, \text { se } x \neq \pi, \\\\ -1, \text { se } x=\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi}, &\text{se } x\neq\pi,\\[6pt] -1, &\text{se } x=\pi. \end{cases}
Pede-se para verificar onde f é contínua e dizer quando (ou se) as descontinuidades são removíveis.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x) para x\neq\pi e o valor atribuído em x=\pi.]

Passo 2

Lembrete importante (definição de continuidade num ponto): uma função f é contínua em a se e somente se existir o limite \lim_{x\to a} f(x) e ele for igual ao valor f(a). Ou seja, f contínua em a \iff \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aplicando isso, primeiro vamos ver os pontos diferentes de \pi. Para x\neq\pi a expressão é \displaystyle \frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi}. Tanto \operatorname{sen} x quanto a função identidade x\mapsto x-\pi são funções contínuas em todo \mathbb{R}; como o denominador x-\pi não é zero quando x\neq\pi, o quociente de funções contínuas é contínuo nesses pontos. Portanto, concluímos que f é contínua em todo x\in\mathbb{R} tal que x\neq\pi.

Passo 3

Agora o ponto crítico é x=\pi. Precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to\pi}\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi} e comparar com o valor dado f(\pi)=-1. Se o limite existir e for igual a -1, então f será contínua em \pi.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \lim_{x\to\pi}\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi} fazemos a mudança h=x-\pi. Então h\to0 quando x\to\pi, e
\operatorname{sen} x=\operatorname{sen}(\pi+h)= -\operatorname{sen} h,
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\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi}=\frac{-\operatorname{sen} h}{h} = -\frac{\operatorname{sen} h}{h}.
Assim
\lim_{x\to\pi}\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi} = \lim_{h\to0}\left(-\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right) = -\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}.

Passo 5

Precisamos então do valor de \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}. Esse é um limite clássico que vale 1. Uma forma didática de ver isso é pelo teorema do confronto (squeeze): para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale
\cos h \le \frac{\operatorname{sen} h}{h} \le 1.
(Esse fato vem de desigualdades trigonométricas geométricas padrão; não precisa decorar o detalhe da demonstração agora, basta saber que é um resultado básico: \lim_{h\to0}\cos h=1.) Como \cos h\to1 quando h\to0, pelo método do confronto obtemos
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1.
Portanto
\lim_{x\to\pi}\frac{\operatorname{sen} x}{x-\pi} = -1.

Passo 6

Com o limite em mãos, compare com o valor atribuído: f(\pi)=-1. Temos
\lim_{x\to\pi} f(x) = -1 = f(\pi).
Logo f é contínua em x=\pi também.

Passo 7

Conclusão sobre continuidade global: f é contínua em todo \mathbb{R} (em x\neq\pi porque a expressão do quociente é contínua, e em x=\pi porque o limite existe e coincide com o valor definido).
Sobre descontinuidades removíveis: uma descontinuidade em a é removível quando \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas ou f(a) não está definido ou f(a) é diferente desse limite; então podemos “remover” a descontinuidade redefinindo f(a) igual ao limite. No nosso caso, o limite em \pi existe e é igual a -1 e já escolhemos f(\pi)=-1, portanto não há descontinuidade em \pi e não há descontinuidades removíveis na função dada. (Se em vez disso o enunciado tivesse f(\pi) diferente de -1 ou f(\pi) não estivesse definido, então a descontinuidade em \pi seria removível ao definir f(\pi):=-1.)

Resposta

A função é contínua em todo \mathbb{R}. Não há descontinuidades; portanto não há descontinuidades removíveis.

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