Verifique se as seguintes funções são contínuas.
y=f(x)= \begin{cases}\frac{\left|x^{2}-5 x+6\right|}{x^{2}-5 x+6} & x \neq 2,3 \\\\ 1 & x=2 \\\\ 9 & x=3\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y=f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\left|x^{2}-5 x+6\right|}{x^{2}-5 x+6} & x \neq 2,3 \\[6pt] 1 & x=2 \\[4pt] 9 & x=3 \end{cases}
é contínua. Informações dadas:
  • A expressão racional com valor absoluto vale apenas para x\neq2,3.
  • Foi atribuída a f(2) o valor 1.
  • Foi atribuída a f(3) o valor 9.
    As perguntas implícitas são: em quais pontos f é contínua e em quais não é?]

Passo 2

Vamos simplificar a expressão para x\neq2,3\). Primeiro fatoro o polinômio: \[x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Explico um fato útil sobre valor absoluto: para qualquer número a\neq0,
\frac{|a|}{a}=\begin{cases}1 & \text{se }a>0,\\[4pt]-1 & \text{se }a<0.\end{cases}
Aqui podemos aplicar com a=x^{2}-5x+6\]. Então, para \(x\neq2,3 (ou seja, a\neq0),
f(x)=\frac{|x^{2}-5x+6|}{x^{2}-5x+6}=\begin{cases}1 & \text{se }x^{2}-5x+6>0,\\[4pt]-1 & \text{se }x^{2}-5x+6<0.\end{cases}]

Passo 3

Agora determinamos onde x^{2}-5x+6\) é positivo ou negativo. Como já fatoramos, \[x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3),
temos zeros em x=2 e x=3. A parábola abre para cima, então o sinal é:
  • para x<2: (x-2)<0 e (x-3)<0 então produto >0;
  • para 2<x<3: (x-2)>0 e (x-3)<0 então produto <0;
  • para x>3: (x-2)>0 e (x-3)>0 então produto >0.
    Portanto, para x\neq2,3,
f(x)=\begin{cases}1 & \text{se }x<2,\\[4pt]-1 & \text{se }2<x<3,\\[4pt]1 & \text{se }x>3.\end{cases}
Ou seja, f\] vale \(1 nas duas regiões externas e vale -1 no intervalo aberto (2,3).]

Passo 4

Relembre a definição prática de continuidade num ponto c: f é contínua em c se e somente se \lim_{x\to c}f(x) existe e é igual a f\text{(c)}. Para limites em pontos de fronteira de pedaços, é importante olhar os limites laterais:
\lim_{x\to c^-}f(x)\quad\text{(pela esquerda)}\qquad\text{e}\qquad\lim_{x\to c^+}f(x)\quad\text{(pela direita)}.
Se os dois existem e são iguais, essa é a \lim_{x\to c}f(x).

Passo 5

Verifico continuidade em pontos x\neq2,3. Em qualquer ponto c estritamente dentro de (-\infty,2), de (2,3) ou de (3,\infty), a função é constante (valendo 1 ou -1) numa vizinhança de c. Uma função constante é contínua: o limite lateral vale o mesmo número e coincide com o valor da função. Logo, f é contínua em todo x\neq2,3.

Passo 6

Agora examino os pontos problemáticos x=2 e x=3.
Para x=2:
  • \displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=1 porque à esquerda de 2 f(x)=1.
  • \displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=-1 porque à direita de 2 (no intervalo (2,3)) f(x)=-1.
    Como os limites laterais são diferentes, \displaystyle \lim_{x\to2}f(x) não existe. Mesmo que o enunciado tenha definido f(2)=1, a existência do limite bilateral é necessária para continuidade; portanto f é descontínua em x=2. Tipo de descontinuidade: salto (jump), pois os limites laterais são finitos e distintos.

Passo 7

Para x=3:
  • \displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x)=-1 porque no intervalo (2,3) f(x)=-1.
  • \displaystyle \lim_{x\to3^+}f(x)=1 porque para x>3 f(x)=1.
    Os limites laterais são diferentes, logo \displaystyle \lim_{x\to3}f(x) não existe. Além disso, f(3)=9 (valor dado) não coincide com nenhum limite lateral; portanto f é descontínua em x=3. Também é uma descontinuidade do tipo salto.

Resposta

A função é contínua para todo x\neq2,3 e é descontínua em x=2 e x=3.

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