Ou seja, f\] vale \(1 nas duas regiões externas e vale -1 no intervalo aberto (2,3).]
Passo 4
Relembre a definição prática de continuidade num ponto c: f é contínua em c se e somente se \lim_{x\to c}f(x) existe e é igual a f\text{(c)}. Para limites em pontos de fronteira de pedaços, é importante olhar os limites laterais:
Se os dois existem e são iguais, essa é a \lim_{x\to c}f(x).
Passo 5
Verifico continuidade em pontos x\neq2,3. Em qualquer ponto c estritamente dentro de (-\infty,2), de (2,3) ou de (3,\infty), a função é constante (valendo 1 ou -1) numa vizinhança de c. Uma função constante é contínua: o limite lateral vale o mesmo número e coincide com o valor da função. Logo, f é contínua em todo x\neq2,3.
Passo 6
Agora examino os pontos problemáticos x=2 e x=3.
Para x=2:
\displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=1 porque à esquerda de 2f(x)=1.
\displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=-1 porque à direita de 2 (no intervalo (2,3)) f(x)=-1.
Como os limites laterais são diferentes, \displaystyle \lim_{x\to2}f(x) não existe. Mesmo que o enunciado tenha definido f(2)=1, a existência do limite bilateral é necessária para continuidade; portanto f é descontínua em x=2. Tipo de descontinuidade: salto (jump), pois os limites laterais são finitos e distintos.
Passo 7
Para x=3:
\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x)=-1 porque no intervalo (2,3)f(x)=-1.
\displaystyle \lim_{x\to3^+}f(x)=1 porque para x>3f(x)=1.
Os limites laterais são diferentes, logo \displaystyle \lim_{x\to3}f(x) não existe. Além disso, f(3)=9 (valor dado) não coincide com nenhum limite lateral; portanto f é descontínua em x=3. Também é uma descontinuidade do tipo salto.
Resposta
A função é contínua para todo x\neq2,3 e é descontínua em x=2 e x=3.