Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=cc2 / 3 & se -1 <= x <= 0 -2(x-1) / 3 & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário 5 &á

Passo 1

O exercício pede para a gente verificar que
f(x)= dfrac23, & -1<= x<=0,[6pt] -dfrac2,(x-1)3, & 0<= x<=1,[4pt] 0,&caso contrário á
é uma densidade de probabilidade.
Conteúdo: noções de função densidade, propriedade de não negatividade e cálculo de integral para ver se a área total é 1. Vamos precisar de integrais simples e de argumentos de sinais.

Passo 2

Verificar não negatividade:
  1. Para , , que é claramente .
  2. Para , . Note que em temos , então e .
  3. Fora de , .
    Logo, para todo .

Passo 3

Agora a integral total deve dar 1:
integral-infty^inftyf(x),dx =integral-1^023,dx +integral0^1l(-23(x-1)r),dx
Calculemos cada parte:
  1. 23 + 13 = 1
Somando as duas áreas:

Resposta

Sim, é uma densidade de probabilidade, pois (1) para todo e (2) .

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