Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime+4 y=3 sen(2 t) ; y(0)=2 y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
$$y’’ + 4y = 3\sin(2t),\quad y(0)=2,;y’(0)=-1,
$$
então vamos usar o método padrão: achar a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e por fim impor as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
$$y_h’’ + 4y_h = 0.
yh'' + 4yh = 0 çãíéíãçãêéy_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t).
$$

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo de força 3sin(2t) coincide com a parte da homogênea, multiplicamos o palpite por t:
$$y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
yp(t)=tl(Acos(2t)+Bsin(2t)r) -4A\sin(2t)+4B\cos(2t)=3\sin(2t)
y''+4y=3sin(2t)áy_p(t)=-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
$$

Passo 4

A solução geral é
$$y(t)=y_h+y_p=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
y(t)=yh+yp=C1cos(2t)+C2sin(2t)-tfrac34tcos(2t) çõy’(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t)-\tfrac{3}{4}\bigl(\cos(2t)-2t\sin(2t)\bigr).
y'(t)=-2C1sin(2t)+2C2cos(2t)-tfrac34l(cos(2t)-2tsin(2t)r) y(0)=C_1=2,\quad y’(0)=2C_2-\tfrac{3}{4}=-1
$$
logo t=0 e y(0)=C1=2, y'(0)=2C2-tfrac34=-1 .

Resposta

A solução particular do PVI é
$$y(t)=2\cos(2t)-\tfrac{1}{8}\sin(2t)-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
$$

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