Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
$$y’’ + 4y = 3\sin(2t),\quad y(0)=2,;y’(0)=-1,
$$
então vamos usar o método padrão: achar a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e por fim impor as condições iniciais.
então vamos usar o método padrão: achar a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e por fim impor as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
$$y_h’’ + 4y_h = 0.
$$
Passo 3
Para achar uma solução particular
usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo de força
coincide com a parte da homogênea, multiplicamos o palpite por
:
$$y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
$$
Passo 4
A solução geral é
$$y(t)=y_h+y_p=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
$$
logo e
.
logo
Resposta
A solução particular do PVI é
$$y(t)=2\cos(2t)-\tfrac{1}{8}\sin(2t)-\tfrac{3}{4}t\cos(2t).
$$