Verifique que as seguintes funções são densidades:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que
é uma função densidade de probabilidade. Na matéria de Probabilidade a gente sabe que, para uma função contínua ser densidade, ela precisa satisfazer dois requisitos:
- f(x) ≥ 0 para todo x no domínio;
-
.
Aqui o domínio é, então vamos usar esses dois pontos como guia.
Passo 2
Verificar não-negatividade:
Para todo x ≥ 0 temos
Para todo x ≥ 0 temos
logo o produto
Passou no primeiro requisito!
Passo 3
Agora vamos checar a integral para ver se dá 1. Escrevemos
Para
usamos integração por partes:
- Seja
⇒ . - Seja
⇒ .
Então,
E
, logo
Agora avaliamos de 0 a ∞:
- Em
, ambos e vão a zero. - Em
, a expressão vale .
Então
Multiplicando pelo 4 lá na frente:
Resposta
Portanto,
satisfaz
e
. Concluímos que é sim uma função densidade de probabilidade.