Verifique que as seguintes funções são densidades:
f(x)=4 x e^-2 x, x >= 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que
f(x)=4x,e^-2x, x>=0
é uma função densidade de probabilidade. Na matéria de Probabilidade a gente sabe que, para uma função contínua ser densidade, ela precisa satisfazer dois requisitos:
  1. f(x) ≥ 0 para todo x no domínio;
  2. .
    Aqui o domínio é , então vamos usar esses dois pontos como guia.

Passo 2

Verificar não-negatividade:
Para todo x ≥ 0 temos
4x>=0e e^-2x>0,
logo o produto
f(x)=4x,e^-2x>=0
Passou no primeiro requisito!

Passo 3

Agora vamos checar a integral para ver se dá 1. Escrevemos
integral0^infty4x,e^-2x,dx =4integral0^inftyx,e^-2x,dx
Para integral x,e^-2x,dx = u,v - integral v,du = -x2e^-2x - integrall(-tfrac12e^-2xr),dx = -x2e^-2x + 12integral e^-2xdx usamos integração por partes:
  • Seja integral x,e^-2x,dx = -x2e^-2x + 12l(-tfrac12e^-2xr) = -x2e^-2x - 14e^-2x + C integral0^inftyx,e^-2x,dx = l[,0 - l(-tfrac14r)r] = tfrac14 .
  • Seja 4integral0^inftyx,e^-2x,dx =4cdottfrac14 =1 .
Então,
E , logo
Agora avaliamos de 0 a ∞:
  • Em , ambos e vão a zero.
  • Em , a expressão vale .
Então
Multiplicando pelo 4 lá na frente:

Resposta

Portanto, satisfaz e . Concluímos que é sim uma função densidade de probabilidade.

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