Verifique se as seguintes funções são soluções da Equação da Onda: u(x, t)=x^4-x t^2+9 t^3

Passo 1

Temos a função u(x,t)=x^4-x t^2+9 t^3 e queremos verificar se ela satisfaz a equação da onda unidimensional de velocidade c, que é dada por utt=c^2uxx. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em t e em x.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
ut=partialpartial t(x^4-x t^2+9t^3)=-2xt+27t^2,
utt=partialpartial t(-2xt+27t^2)=-2x+54t

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em relação a x:
ux=partialpartial x(x^4-x t^2+9t^3)=4x^3-t^2,
uxx=partialpartial x(4x^3-t^2)=12x^2

Passo 4

Substituindo na equação da onda, comparamos utt e c^2uxx:
utt=-2x+54t,
c^2uxx=c^2cdot12x^2=12c^2x^2
Para qualquer constante c, não há como igualar -2x+54t a 12c^2x^2 para todos os (x,t). Portanto, essa função não satisfaz a equação da onda.

Resposta

A função não é solução da equação da onda, pois uttneq c^2uxx.

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