Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (-1)^k k!(x-4)^k3^k

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumk=1^infty (-1)^k k!(x-4)^k3^k. Isso faz parte do conteúdo de séries de potência e testes de convergência. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série sum ak, calculamos o limite L = limk to infty | ak+1ak |. Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste não conclui.

Passo 3

Identificamos os termos da nossa série:
ak = (-1)^k k!(x-4)^k3^k
Agora, vamos encontrar ak+1:
ak+1 = (-1)^k+1 (k+1)! (x-4)^k+13^k+1

Passo 4

Calculamos a razão | ak+1ak |:
| ak+1ak | = | (-1)^k+1 (k+1)! (x-4)^k+1 cdot 3^k3^k+1 cdot (-1)^k k! (x-4)^k | = | (k+1)(x-4)3 |

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando k tende ao infinito:
L = limk to infty | (k+1)(x-4)3 | = limk to infty (k+1)|x-4|3 = infty
Esse limite é infinito para qualquer valor de x, o que significa que a série diverge para todos os x, exceto possivelmente onde a expressão dentro do limite é zero.

Resposta

O raio de convergência é 0 e o intervalo de convergência é apenas o ponto x = 4.

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