Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente no estudo de integrais impróprias e seu comportamento no infinito. Para resolver, vamos analisar cada parte da função integranda separadamente e ver como elas se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais individualmente.
Passo 3
Começando pela primeira integral:
.
Aqui, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que
cresce mais lentamente que qualquer potência de
, mas ainda assim, para determinar a convergência, vamos comparar com uma função mais simples.
Observamos que
para
, então:
Sabemos que
é divergente, pois a integral de
converge se e somente se
. Como
, a integral de comparação diverge, o que nos indica que a integral original também diverge.
Passo 4
Agora, vamos analisar a segunda integral: .
Aqui, podemos usar o Teste de Integral de Dirichlet. Sabemos que é uma função oscilante limitada, e
é uma função que tende a zero quando
tende ao infinito.
Segundo o teste de Dirichlet, se temos um produto de uma função oscilante e uma função que é monótona e tende a zero, a integral converge. Portanto, essa segunda integral é convergente.
Passo 5
Finalmente, combinando os resultados das duas integrais:
Já que uma das partes da integral total é divergente, a integral completa também é divergente.
Resposta
A integral é divergente.