Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
e) integral1^+infty ln (x)+sen xraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente no estudo de integrais impróprias e seu comportamento no infinito. Para resolver, vamos analisar cada parte da função integranda separadamente e ver como elas se comportam quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais individualmente.

Passo 3

Começando pela primeira integral: ln(x)raizx <= xraizx = x^12 .
Aqui, podemos usar o Teste da Comparação. Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de , mas ainda assim, para determinar a convergência, vamos comparar com uma função mais simples.
Observamos que para , então:
Sabemos que é divergente, pois a integral de converge se e somente se . Como , a integral de comparação diverge, o que nos indica que a integral original também diverge.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda integral: .
Aqui, podemos usar o Teste de Integral de Dirichlet. Sabemos que é uma função oscilante limitada, e é uma função que tende a zero quando tende ao infinito.
Segundo o teste de Dirichlet, se temos um produto de uma função oscilante e uma função que é monótona e tende a zero, a integral converge. Portanto, essa segunda integral é convergente.

Passo 5

Finalmente, combinando os resultados das duas integrais:
Diver>=nte + Conver>=nte = Diver>=nte
Já que uma das partes da integral total é divergente, a integral completa também é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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