Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
k) integral0^+infty sen^2(x) sen(2 x)x^p d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função integranda quando se aproxima de 0 e de .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento da função quando sin^2(x) approx x^2 está próximo de 0. Quando sin(2x) approx 2x é bem pequeno, sabemos que sin^2(x) sin(2x)x^p approx x^2 cdot 2xx^p = 2x^3x^p = 2x^3 - p . Então, podemos aproximar:
integral0^1 2x^3 - p , dx
3 - p > -1 implies p < 4
Substituindo essas aproximações na integral, temos:
Agora, vamos integrar essa aproximação de até algum ponto finito, digamos :
Para essa integral convergir, o expoente de deve ser maior que :
Então, para a parte da integral perto de 0, precisamos que para que a integral não “explode” e, portanto, convirja.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento quando |sin^2(x) sin(2x)| <= sin^2(x) <= 1 vai para 1x^p . Para grandes valores de integral1^+infty 1x^p , dx , as funções p > 1 e oscilam entre -1 e 1, mas não crescem nem decrescem. Então, podemos considerar que:
Assim, a função integranda pode ser comparada a:
Vamos integrar essa função de até :
Essa integral converge se o expoente for maior que 1:
Portanto, para a parte da integral quando vai para o infinito, precisamos que para que a integral não seja infinita.

Passo 4

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
  1. Para que a integral convirja perto de 0: 1 < p < 4
  2. Para que a integral convirja no infinito:
Portanto, a integral original converge se e somente se estiver entre 1 e 4:

Resposta

A integral converge quando o expoente satisfaz .

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