Verifique se as seguintes integrais são convergentes ou divergentes:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
converge ou diverge. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função integranda quando
se aproxima de 0 e de
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento da função quando
está próximo de 0. Quando
é bem pequeno, sabemos que
. Então, podemos aproximar:
Substituindo essas aproximações na integral, temos:
Agora, vamos integrar essa aproximação de
até algum ponto finito, digamos
:
Para essa integral convergir, o expoente de
deve ser maior que
:
Então, para a parte da integral perto de 0, precisamos que
para que a integral não “explode” e, portanto, convirja.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento quando
vai para
. Para grandes valores de
, as funções
e
oscilam entre -1 e 1, mas não crescem nem decrescem. Então, podemos considerar que:
Assim, a função integranda pode ser comparada a:
Vamos integrar essa função de
até
:
Essa integral converge se o expoente
for maior que 1:
Portanto, para a parte da integral quando
vai para o infinito, precisamos que
para que a integral não seja infinita.
Passo 4
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
- Para que a integral convirja perto de 0:
- Para que a integral convirja no infinito:
Portanto, a integral original converge se e somente se
estiver entre 1 e 4:
Resposta
A integral
converge quando o expoente
satisfaz
.