Verifique se os seguintes limites existem:
b) lim x 3|x-3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 3|x-3|. Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente tratando de limites e funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função valor absoluto se comporta próximo do ponto que estamos analisando, no caso, x = 3.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que a função |x-3| faz. A função valor absoluto retorna a distância de x até 3 na reta numérica, ou seja, sempre dá um resultado não negativo.

Passo 3

Para encontrar o limite quando x se aproxima de 3, precisamos ver o que acontece com |x-3| à medida que x chega cada vez mais perto de 3 por ambos os lados (esquerda e direita).

Passo 4

Vamos separar em dois casos:
  • Quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( x to 3^-): Nesse caso, x é menor que 3, então x - 3 é negativo. Assim, |x-3| = -(x-3) = 3 - x.
  • Quando x se aproxima de 3 pela direita ( x to 3^+): Aqui, x é maior que 3, então x - 3 é positivo. Portanto, |x-3| = x - 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites laterais:
  • Limite pela esquerda: limx to 3^- |x-3| = limx to 3^- (3 - x) = 3 - 3 = 0
  • Limite pela direita: limx to 3^+ |x-3| = limx to 3^+ (x - 3) = 3 - 3 = 0

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e ambos valem 0, podemos concluir que o limite geral existe e é igual a esse valor.

Resposta

lim x 3|x-3| = 0

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