Verifique se os seguintes limites existem:
lim x 5 x^3-6 x^2+6 x-5x^2-5 x

Passo 1

O problema pede para calcular limxto5 x^3-6x^2+6x-5x^2-5x. Isso é um exercício de limites envolvendo a indeterminação 0/0, e vamos precisar usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Começo testando a substituição direta em x=5. Numerador: 5^3-6cdot5^2+6cdot5-5=125-150+30-5=0. Denominador: 5^2-5cdot5=25-25=0. Temos 0/0, ou seja, indeterminação.

Passo 3

Para resolver a indeterminação, fatoro o numerador por divisão sintética ou agrupamento. Usando divisão sintética em 5 nos coeficientes (1, -6, 6, -5) obtemos o quociente x^2-x+1 e resto zero. Logo,
x^3-6x^2+6x-5=(x-5)(x^2 - x +1)
O denominador também fatora facilmente:
x^2-5x = x(x-5)
Agora podemos simplificar a fração cancelando o fator comum (x-5), para xneq5, resultando em
x^3-6x^2+6x-5x^2-5x = x^2 - x +1x

Passo 4

Como a expressão simplificada não apresenta mais indeterminação em x=5, basta fazer substituição direta:
5^2 -5 +15 = 25 -5 +15 = 215
Portanto o limite existe e vale tfrac215.

Resposta

\tfrac{21}{5}

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