Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz abaixo é invertível:
A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 7\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei os elementos direto do enunciado):
  • a_{11}=1, a_{12}=4, a_{21}=2, a_{22}=7.
    A pergunta concreta é: esta matriz A tem inversa?]

Passo 2

O que significa “invertível” e como verificar num caso 2\times2.
  • Definição prática: uma matriz quadrada A é invertível se existe uma matriz B tal que
AB=BA=I,
onde I é a matriz identidade (no caso 2\times2, I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}).
  • Para matrizes 2\times2, existe um teste simples usando o determinante. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz, respectivamente a=a_{11}, b=a_{12}, c=a_{21}, d=a_{22}.
  • Propriedade-chave: a matriz A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq0. Além disso, quando \det(A)\neq0 a inversa é dada pela fórmula fechada
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Essa fórmula vem de resolver explicitamente as equações A X = I ou do método da adjunta para matrizes 2\times2.]

Passo 3

Calcular o determinante de A usando os elementos fornecidos:
a=1,\quad b=4,\quad c=2,\quad d=7.
Portanto
\det(A)=ad-bc = 1\cdot 7 - 4\cdot 2 = 7 - 8 = -1.
Como \det(A) = -1 \neq 0, concluímos já que A é invertível.

Passo 4

Calcular explicitamente a inversa usando a fórmula para 2\times2.
Primeiro escrevo a matriz dos cofatores (adjunta transposta):
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
Agora multiplico por 1/\det(A). Como \det(A)=-1, tem-se
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}7 & -4\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (multiplicando A por A^{-1} para ver se dá I):
A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-7 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-7)+4\cdot2 & 1\cdot4 + 4\cdot(-1)\\[6pt] 2\cdot(-7)+7\cdot2 & 2\cdot4 + 7\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7+8 & 4-4\\[4pt] -14+14 & 8-7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Confere: o produto deu I, logo a inversa calculada está correta.]

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (resumindo):
  • Para uma 2\times2 calcule \det(A)=ad-bc. Se for zero, não é invertível; se não for zero, é invertível e use a fórmula direta.
  • Memorize a fórmula da inversa para 2\times2 para ganhar tempo: trocar a com d, trocar sinal de b,c, e multiplicar por 1/\det(A).
  • Exemplo rápido para reforçar: a matriz \begin{pmatrix}2&3\\[4pt]4&6\end{pmatrix} tem \det=2\cdot6-3\cdot4=12-12=0, logo não é invertível.]

Resposta

Sim. A é invertível e
A^{-1}=\begin{pmatrix}-7 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}]

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