Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz abaixo é invertível:
Informações dadas (peguei os elementos direto do enunciado):
-
, , , .
A pergunta concreta é: esta matriz tem inversa?]
Passo 2
O que significa “invertível” e como verificar num caso
.
- Definição prática: uma matriz quadrada
é invertível se existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade (no caso
,
).
- Para matrizes
, existe um teste simples usando o determinante. Se
então o determinante é dado por
Aqui
são os elementos da matriz, respectivamente
,
,
,
.
- Propriedade-chave: a matriz
é invertível se, e somente se, . Além disso, quando a inversa é dada pela fórmula fechada
Essa fórmula vem de resolver explicitamente as equações
ou do método da adjunta para matrizes
.]
Passo 3
Calcular o determinante de
usando os elementos fornecidos:
Portanto
Como
, concluímos já que
é invertível.
Passo 4
Calcular explicitamente a inversa usando a fórmula para
.
Primeiro escrevo a matriz dos cofatores (adjunta transposta):
Agora multiplico por
. Como
, tem-se
Verificação rápida (multiplicando
por
para ver se dá
):
Confere: o produto deu
, logo a inversa calculada está correta.]
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (resumindo):
- Para uma
calcule . Se for zero, não é invertível; se não for zero, é invertível e use a fórmula direta. - Memorize a fórmula da inversa para
para ganhar tempo: trocar com , trocar sinal de , e multiplicar por . - Exemplo rápido para reforçar: a matriz
tem , logo não é invertível.]
Resposta
Sim.
é invertível e