Informações dadas: os nove elementos da matriz A conforme escritos acima. A tarefa é apenas dizer se A é invertível ou não.]
Passo 2
Conceito e critério que vamos usar (pequena aula): para matrizes quadradas 3\times3 vale a propriedade prática
\text{uma matriz }A\text{ é invertível} \Longleftrightarrow \det(A)\neq 0.éí
O determinante é um número associado à matriz; se for zero a matriz não tem inversa (as linhas são linearmente dependentes, não existe solução única para A x=b), se for diferente de zero então existe uma matriz inversa A^{-1}. Aqui vamos calcular \det(A) manualmente.
Passo 3
Fórmula prática para \det(A) no caso 3\times3 (regra de Sarrus). Para
\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}
temos
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\; c e g - b d i - a f h.
Agora aplico essa fórmula aos elementos de A. Identificando
Calculemos os termos positivos da regra de Sarrus:
a e i = 3\cdot 0\cdot(-4)=0,
b f g = 4\cdot 3\cdot 2 = 24,
c d h = (-1)\cdot 1\cdot 5 = -5.
Soma dos positivos:
0 + 24 + (-5) = 19.
Agora os termos negativos:
c e g = (-1)\cdot 0\cdot 2 = 0,
b d i = 4\cdot 1\cdot(-4) = -16,
a f h = 3\cdot 3\cdot 5 = 45.
Soma dos negativos:
0 + (-16) + 45 = 29.
Portanto o determinante é
\det(A)=19-29=-10.
Passo 5
Interpretação didática do resultado: encontramos \det(A)=-10. Como o determinante é diferente de zero, isso indica que as linhas (e colunas) da matriz são linearmente independentes e que existe uma única solução para A x=b para qualquer vetor b. Por consequência, a matriz tem inversa.