Determine quais das seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\\\ 9 & -1 & 4 \\\\ 8 & 9 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a matriz a seguir é invertível (ou seja, se possui inversa):
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\[2pt] 9 & -1 & 4 \\[2pt] 8 & 9 & -1\end{array}\right]
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Elementos de A: a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=-1, a_{21}=9, a_{22}=-1, a_{23}=4, a_{31}=8, a_{32}=9, a_{33}=-1.
  • A pergunta é: “essa matriz é invertível?”]

Passo 2

Regra que vamos usar (explicação didática):
  • Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, o determinante \det(A) for diferente de zero.
  • Para matrizes 3\times3 há várias formas de calcular o determinante; uma forma muito direta é a expansão por cofatores ao longo da primeira linha (ou usar a regra de Sarrus). Vou usar a expansão por cofatores ao longo da primeira linha porque é clara e fácil de seguir passo a passo.
Expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)=a_{11}\,C_{11}+a_{12}\,C_{12}+a_{13}\,C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é o cofator e M_{ij} é a menor de ordem 2 obtida removendo a linha i e a coluna j.
Para a primeira linha, os sinais dos cofatores são +,-,+, então podemos escrever explicitamente:
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}).

Passo 3

Identificar os menores 2\times2 que precisamos:
  • M_{11} é a matriz obtida eliminando linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[2pt] 9 & -1\end{pmatrix}.
  • M_{12} é a matriz obtida eliminando linha 1 e coluna 2:
M_{12}=\begin{pmatrix}9 & 4 \\[2pt] 8 & -1\end{pmatrix}.
  • M_{13} é a matriz obtida eliminando linha 1 e coluna 3:
M_{13}=\begin{pmatrix}9 & -1 \\[2pt] 8 & 9\end{pmatrix}.
Lembrete útil: o determinante de uma matriz 2\times2,
\begin{pmatrix}p & q \\\ r & s\end{pmatrix},
é \det=\;p s - q r. Vou aplicar isso em cada menor.]

Passo 4

Calcular \det(M_{11}) usando a fórmula de 2\times2:
\det(M_{11}) = (-1)\cdot(-1) - 4\cdot 9.
Fazendo as contas passo a passo:
(-1)\cdot(-1)=1,\qquad 4\cdot 9=36,
logo
\det(M_{11})=1-36=-35.

Passo 5

Calcular \det(M_{12}) (vai aparecer multiplicado por a_{12}, que é zero, mas vou calcular para ser completo):
\det(M_{12}) = 9\cdot(-1) - 4\cdot 8.
Fazendo as contas:
9\cdot(-1)=-9,\qquad 4\cdot 8=32,
logo
\det(M_{12})=-9-32=-41.
Observação prática: a_{12}=0, então o termo correspondente na expansão será -a_{12}\det(M_{12}) = -0\cdot(-41)=0.

Passo 6

Calcular \det(M_{13}):
\det(M_{13}) = 9\cdot 9 - (-1)\cdot 8.
Fazendo as contas:
9\cdot 9 =81,\qquad (-1)\cdot 8 = -8,
portanto
\det(M_{13})=81 - (-8)=81+8=89.

Passo 7

Agora montar a expansão por cofatores ao longo da primeira linha:
\det(A)=a_{11}\det(M_{11})-a_{12}\det(M_{12})+a_{13}\det(M_{13}).
Substituindo os valores conhecidos ( a_{11}=1, a_{12}=0, a_{13}=-1; \det(M_{11})=-35; \det(M_{12})=-41; \det(M_{13})=89):
\det(A)=1\cdot(-35) - 0\cdot(-41) + (-1)\cdot 89.
Calcular cada termo:
1\cdot(-35)=-35,\qquad -0\cdot(-41)=0,\qquad (-1)\cdot 89=-89.
Somando:
\det(A)=-35 + 0 - 89 = -124.

Passo 8

Interpretação final e conclusão didática:
  • Encontramos \det(A) = -124.
  • Como \det(A)\neq 0, pela regra básica de álgebra linear a matriz A é invertível (ou seja, existe A^{-1}).
  • Comentário amigo: deu trabalho, mas é só seguir a receita — calcular menores e somar com os sinais — e pronto! \det diferente de zero = inversa existe. Força que você pega o jeito rapidinho.

Resposta

A matriz é invertível; \det(A)=-124.

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