Regra que vou usar (explicando bem): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Para uma matriz 3\times3 com entradas
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. A ideia é multiplicar cada elemento da primeira linha pelo determinante do menor correspondente (o 2\times2 que sobra), com sinais +,-,+.]
Passo 3
Agora aplico essa fórmula em A. Identificando as entradas:
a_{11}=4,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=8,
a_{21}=-2,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=-4,
a_{31}=3,\quad a_{32}=1,\quad a_{33}=6.
Calculo os menores (cada um é um determinante 2\times2):
Interpretação do resultado (aqui explico o que isso significa, sem ainda escrever a resposta final): como o determinante calculado é \det(A)=0, isso indica que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes — há redundância entre elas. Vou mostrar uma verificação direta de dependência linear para solidificar a ideia.
Procuro escalares \alpha,\beta tais que \alpha vezes a primeira linha mais \beta vezes a segunda linha dê a terceira linha. Escrevendo:
\alpha(4,2,8)+\beta(-2,1,-4)=(3,1,6).
Isso gera o sistema (coordenada a coordenada):
4\alpha-2\beta=3,
2\alpha+\beta=1,
8\alpha-4\beta=6.
Da segunda equação temos \beta=1-2\alpha. Substituindo na primeira: