A terceira linha de A é \bigl(0,\;0,\;0,\;0\bigr) (todas as entradas dessa linha são zero).
A pergunta é: “a matriz A é invertível?”]
Passo 2
Lembrete teórico (explicado passo a passo e de forma simples).
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero. Em símbolos: A invertível \iff \det(A)\neq 0.
O determinante é um número associado a A. Se ele for zero, diz-se que A é singular (não invertível).
Outra forma equivalente: A é invertível \iff as linhas (ou colunas) de A são linearmente independentes, isto é, têm posto (rank) igual a 4 no caso de uma matriz 4\times4.
Vou usar a propriedade mais direta e fácil para este caso: se uma linha (ou coluna) inteira é zero, o determinante é zero. Vou explicar por que isso é verdadeiro.
Passo 3
Expansão por cofatores ao longo de uma linha (ideia e aplicação direta).
A definição prática: o determinante de A pode ser calculado por expansão por cofatores ao longo da terceira linha:
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} a_{3j}\,C_{3j},
onde a_{3j} é a entrada da terceira linha e coluna j e C_{3j} é o cofator correspondente (um número que depende das demais entradas).
No nosso caso, para toda j\in\{1,2,3,4\} temos a_{3j}=0, pois a terceira linha é \bigl(0,0,0,0\bigr).
Como \det(A)=0, pela equivalência mencionada antes, A não é invertível (é singular).
Em linguagem de prova curta: “uma linha inteira nula implica determinante zero; determinante zero implica não invertível”.
Passo 5
Explicação alternativa (via posto/independência linear), útil para a prova.
O posto (rank) de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
Uma linha zero jamais é linearmente independente das outras (pois a combinação trivial com coeficiente zero dá a linha zero), logo não se pode ter 4 linhas independentes se uma das linhas é a linha zero.
Assim o posto de A satisfaz \operatorname{rank}(A)\le 3<4. Para uma matriz 4\times4 ser invertível é necessário que \operatorname{rank}(A)=4. Como não é o caso, A não é invertível.
Essa explicação é útil quando não se quer calcular determinantes: basta observar presença de linha ou coluna nula, ou verificar dependência linear.
Passo 6
Exemplo rápido e dica prática para a prova.
Exemplo simples: a matriz B=\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&0\end{pmatrix} tem uma linha nula, \det(B)=1\cdot0-2\cdot0=0, logo B não é invertível. Mesma ideia vale para qualquer ordem.
Dica prática: em prova, ao ver uma linha (ou coluna) composta só por zeros, pode imediatamente responder “não invertível” sem cálculos pesados.]