Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rrrr}-8 & 17 & 2 & \frac{1}{3} \\\\ 4 & 0 & \frac{2}{5} & -9 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 13 & 4 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz abaixo é invertível. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} -8 & 17 & 2 & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 4 & 0 & \tfrac{2}{5} & -9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 13 & 4 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é quadrada de ordem 4.
  • A terceira linha de A é \bigl(0,\;0,\;0,\;0\bigr) (todas as entradas dessa linha são zero).
  • A pergunta é: “a matriz A é invertível?”]

Passo 2

Lembrete teórico (explicado passo a passo e de forma simples).
  • Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero. Em símbolos: A invertível \iff \det(A)\neq 0.
    • O determinante é um número associado a A. Se ele for zero, diz-se que A é singular (não invertível).
  • Outra forma equivalente: A é invertível \iff as linhas (ou colunas) de A são linearmente independentes, isto é, têm posto (rank) igual a 4 no caso de uma matriz 4\times4.
    Vou usar a propriedade mais direta e fácil para este caso: se uma linha (ou coluna) inteira é zero, o determinante é zero. Vou explicar por que isso é verdadeiro.

Passo 3

Expansão por cofatores ao longo de uma linha (ideia e aplicação direta).
  • A definição prática: o determinante de A pode ser calculado por expansão por cofatores ao longo da terceira linha:
\det(A)=\sum_{j=1}^{4} a_{3j}\,C_{3j},
onde a_{3j} é a entrada da terceira linha e coluna j e C_{3j} é o cofator correspondente (um número que depende das demais entradas).
  • No nosso caso, para toda j\in\{1,2,3,4\} temos a_{3j}=0, pois a terceira linha é \bigl(0,0,0,0\bigr).
  • Substituindo na soma:
\det(A)=0\cdot C_{31}+0\cdot C_{32}+0\cdot C_{33}+0\cdot C_{34}=0.
Portanto \det(A)=0.

Passo 4

Conclusão imediata a partir do determinante.
  • Como \det(A)=0, pela equivalência mencionada antes, A não é invertível (é singular).
  • Em linguagem de prova curta: “uma linha inteira nula implica determinante zero; determinante zero implica não invertível”.

Passo 5

Explicação alternativa (via posto/independência linear), útil para a prova.
  • O posto (rank) de A é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes.
  • Uma linha zero jamais é linearmente independente das outras (pois a combinação trivial com coeficiente zero dá a linha zero), logo não se pode ter 4 linhas independentes se uma das linhas é a linha zero.
  • Assim o posto de A satisfaz \operatorname{rank}(A)\le 3<4. Para uma matriz 4\times4 ser invertível é necessário que \operatorname{rank}(A)=4. Como não é o caso, A não é invertível.
  • Essa explicação é útil quando não se quer calcular determinantes: basta observar presença de linha ou coluna nula, ou verificar dependência linear.

Passo 6

Exemplo rápido e dica prática para a prova.
  • Exemplo simples: a matriz B=\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&0\end{pmatrix} tem uma linha nula, \det(B)=1\cdot0-2\cdot0=0, logo B não é invertível. Mesma ideia vale para qualquer ordem.
  • Dica prática: em prova, ao ver uma linha (ou coluna) composta só por zeros, pode imediatamente responder “não invertível” sem cálculos pesados.]

Resposta

A matriz não é invertível.

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