Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • É fornecida a matriz quadrada de ordem 3
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \\[4pt] 1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
  • A pergunta é: verificar se essa matriz é invertível (ou seja, se existe A^{-1}).]

Passo 2

Critério que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma matriz quadrada, uma forma simples e direta de testar invertibilidade é calcular o seu determinante.
  • Teorema (em palavras simples): uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, \det(A)\neq 0.
  • Intuição rápida: o determinante mede se as colunas (ou linhas) são linearmente independentes; se \det(A)=0 há dependência linear e não existe inversa; se \det(A)\neq0 as colunas formam uma base e a inversa existe.

Passo 3

Apresentando a notação para calcular o determinante de uma matriz 3\times3:
  • Se A=(a_{ij}) é
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
então a expansão pela primeira linha dá a fórmula
\det(A)=a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr)-a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr)+a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr).
  • Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j. Os parênteses com produtos são os menores (determinantes 2\times2) correspondentes.]

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa matriz: primeiro identificamos os a_{ij} pelo seu lugar em A:
a_{11}=1,\; a_{12}=0,\; a_{13}=1,
a_{21}=0,\; a_{22}=1,\; a_{23}=1,
a_{31}=1,\; a_{32}=1,\; a_{33}=0.

Passo 5

Calcular cada termo da expansão com cuidado (mostrando as contas pequenas):
  • Primeiro termo:
a_{11}\bigl(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\bigr) =1\bigl(1\cdot 0 - 1\cdot 1\bigr) =1\bigl(0-1\bigr) =1\cdot(-1)=-1.
  • Segundo termo:
-a_{12}\bigl(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\bigr) = -0\bigl(0\cdot 0 - 1\cdot 1\bigr) = -0\bigl(0-1\bigr) = -0\cdot(-1)=0.
  • Terceiro termo:
a_{13}\bigl(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\bigr) =1\bigl(0\cdot 1 - 1\cdot 1\bigr) =1\bigl(0-1\bigr) =1\cdot(-1)=-1.

Passo 6

Somando os três termos para obter o determinante:
\det(A) = -1 + 0 + (-1) = -2.
Portanto o valor do determinante calculado é \det(A)=-2.

Passo 7

Interpretação teórica final (sem repetir a resposta final): como vimos no Passo 2, o critério que usamos diz que a matriz é invertível exatamente quando o determinante é diferente de zero. Aqui obtemos um determinante diferente de zero ( -2), o que significa que as colunas da matriz são linearmente independentes e existe matriz inversa. Se for necessário, a inversa pode ser obtida pela fórmula A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A), onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofactores).

Resposta

A matriz é invertível, pois \det(A)=-2\neq 0.

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