Verifique as seguintes propriedades da função exponencial
):
;
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para quaisquer
, vale
Informações dadas (explicitadas):
e
são números complexos; a função exponencial complexa
está definida (vamos usar a definição por série). A tarefa é verificar a igualdade indicada.
Passo 2
Definição e propriedades básicas que vamos usar (explicadas de maneira simples).
- Definição da exponencial complexa por série de potências:
onde
é o fatorial de
e
. Essa série converge absolutamente para todo
(raio de convergência infinito), o que nos permite manipular somas e produtos com segurança.
- Consequência imediata: substituindo
obtemos
Vou usar também a propriedade que mostra como a exponencial transforma soma em produto; provamos isso agora.
Passo 3
Provar a fórmula de adição: para quaisquer
vale
Prova detalhada (passo a passo, usando as séries).
- Escrevendo as séries:
- Produto das duas séries (produto Cauchy). Ao multiplicar
por obtemos a série cujo termo de ordem é a soma dos produtos cujos índices somam :
- Reescrevendo o termo interno usando o binômio de Newton: lembre que
então
Assim
- Usando o teorema do binômio:
Portanto o termo de ordem
do produto é
, e somando sobre
obtemos
- Justificativa da troca de somas e do uso do produto Cauchy: como as séries convergem absolutamente, o produto Cauchy converge e a reorganização é válida. Não precisamos entrar em detalhes técnicos agora, apenas saber que a convergência absoluta garante essas manipulações.
Passo 4
Aplicar a fórmula de adição ao caso concreto.
Escolha e
. Pela fórmula de adição, temos
Escolha
Já estamos muito perto do objetivo; falta relacionar
com
.
Passo 5
Mostrar que
(ou seja, que
é invertível com inverso
).
- Use a fórmula de adição com
e :
- Como o produto de
por é , isso mostra que é um número não nulo e que é seu elemento inverso multiplicativo. Logo
Passo 6
Combinar os resultados dos passos anteriores para concluir a igualdade pedida.
- Do Passo 4 temos
. - Do Passo 5 temos
.
Substituindo,
E está provado.