Verifique as seguintes propriedades da função exponencial ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in \mathbb{Z} ):
i) e^{z} é uma função periódica de período imaginário puro 2 \pi i

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que a função exponencial complexa tem período imaginário puro 2\pi i.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Domínio: z\in\mathbb{C}.
  • Objetivo concreto: mostrar que, para todo z\in\mathbb{C},
e^{z+2\pi i}=e^{z},
ou seja, 2\pi i é um período (puro imaginário) de e^{z}.

Passo 2

Definição e ferramenta principal (passo-a-passo didático).
  • A função exponencial complexa pode ser definida pela série de potência (convergente para todo z\in\mathbb{C}):
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Essa série permite operar com e^{z} quase do mesmo jeito que no caso real: vale a propriedade multiplicativa
e^{z+w}=e^{z}e^{w}\quad\text{para todo }z,w\in\mathbb{C},
que pode ser verificada usando a série (convolução dos coeficientes) ou argumentos já vistos em análise complexa. Vou usar essa propriedade porque torna tudo bem direto.
  • Escrevendo z em partes real e imaginária, z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, podemos separar:
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}.
Aqui e^{x} é o exponencial real usual (positivo) e e^{iy} é o exponencial puramente imaginário.
  • A fórmula de Euler (que também vem da mesma série) diz:
e^{iy}=\cos y + i\sin y.
Explicação rápida: se expandir \sum_{n=0}^\infty (iy)^n/n! e agrupar as potências pares (reais) e ímpares (imaginárias) obtém-se \cos y e \sin y respectivamente. Por isso podemos escrever, de maneira prática:
e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y).

Passo 3

Mostrar que 2\pi i é período.
  • Primeiro calcule e^{2\pi i}. Aplicando Euler com y=2\pi:
e^{2\pi i}=\cos(2\pi)+i\sin(2\pi)=1+ i\cdot 0 = 1.
  • Agora use a propriedade multiplicativa do exponencial. Para qualquer z\in\mathbb{C},
e^{z+2\pi i}=e^{z}e^{2\pi i}=e^{z}\cdot 1 = e^{z}.
Portanto 2\pi i é de fato um período da função e^{z}.

Passo 4

Períodos múltiplos e conjunto de todos os períodos.
  • Pela mesma razão, para qualquer n\in\mathbb{Z},
e^{z+2\pi i n}=e^{z}e^{2\pi i n}=e^{z}\cdot (e^{2\pi i})^{n}=e^{z}\cdot 1^{n}=e^{z}.
Logo todos os múltiplos inteiros 2\pi i n são períodos.
  • Agora vamos mostrar que não existem outros períodos além desses. Seja p\in\mathbb{C} um período de e^{z}, isto é,
e^{z+p}=e^{z}\quad\text{para todo }z\in\mathbb{C}.
Isso implica, em particular, tomando z=0,
e^{p}=1.
Escreva p=a+ib com a,b\in\mathbb{R}. Usando a separação:
e^{p}=e^{a+ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b)=1+0 i.
Comparando partes real e imaginária obtemos duas condições:
e^{a}\cos b = 1,\qquad e^{a}\sin b = 0.
Da segunda segue \sin b=0 (pois e^{a}>0 sempre). Assim \sin b=0\Rightarrow b= k\pi para algum k\in\mathbb{Z}. Da primeira, com \sin b=0, \cos b=\pm 1; mas como e^{a}\cos b=1 e e^{a}>0, necessariamente \cos b=1 e e^{a}=1. Então e^{a}=1 implica a=0. E \cos b=1 junto com \sin b=0 força
b=2\pi n\quad\text{com }n\in\mathbb{Z}.
Portanto p=0+i(2\pi n)=2\pi i n. Concluímos que o conjunto de todos os períodos é exatamente
\{2\pi i n \mid n\in\mathbb{Z}\}.

Passo 5

Interpretações e observações úteis para a prova
  • Conclusão prática: a função e^{z} é periódica no sentido complexo com período fundamental (ou primitivo) 2\pi i — isto é, o menor deslocamento imaginário não nulo que reproduz os valores é 2\pi i (até sinal e múltiplos inteiros).
  • Observação: não existe período real não nulo: se p\in\mathbb{R} e e^{p}=1 então p=0, porque e^{p}>0 para todo p\in\mathbb{R}.
  • Exemplo concreto para fixar: para z=1,
e^{1+2\pi i}=e^{1},
e para z=3+i também e^{3+i+2\pi i}=e^{3+i}. Isso ajuda a visualizar que a repetição ocorre andando verticalmente (na direção imaginária) no plano complexo, de passo 2\pi.

Resposta

Para todo z\in\mathbb{C} vale e^{z+2\pi i}=e^{z}.
O conjunto de todos os períodos é \{2\pi i n \mid n\in\mathbb{Z}\}, logo o período imaginário puro fundamental é 2\pi i.

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