Verifique as seguintes propriedades da função exponencial (
):
i)
é uma função periódica de período imaginário puro
i)
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que a função exponencial complexa tem período imaginário puro
.
Informações dadas e objetivo claro:
- Domínio:
. - Objetivo concreto: mostrar que, para todo
,
ou seja,
é um período (puro imaginário) de
.
Passo 2
Definição e ferramenta principal (passo-a-passo didático).
- A função exponencial complexa pode ser definida pela série de potência (convergente para todo
):
Essa série permite operar com
quase do mesmo jeito que no caso real: vale a propriedade multiplicativa
que pode ser verificada usando a série (convolução dos coeficientes) ou argumentos já vistos em análise complexa. Vou usar essa propriedade porque torna tudo bem direto.
- Escrevendo
em partes real e imaginária, com , podemos separar:
Aqui
é o exponencial real usual (positivo) e
é o exponencial puramente imaginário.
- A fórmula de Euler (que também vem da mesma série) diz:
Explicação rápida: se expandir
e agrupar as potências pares (reais) e ímpares (imaginárias) obtém-se
e
respectivamente. Por isso podemos escrever, de maneira prática:
Passo 3
Mostrar que
é período.
- Primeiro calcule
. Aplicando Euler com :
- Agora use a propriedade multiplicativa do exponencial. Para qualquer
,
Portanto
é de fato um período da função
.
Passo 4
Períodos múltiplos e conjunto de todos os períodos.
- Pela mesma razão, para qualquer
,
Logo todos os múltiplos inteiros
são períodos.
- Agora vamos mostrar que não existem outros períodos além desses. Seja
um período de , isto é,
Isso implica, em particular, tomando
,
Escreva
com
. Usando a separação:
Comparando partes real e imaginária obtemos duas condições:
Da segunda segue
(pois
sempre). Assim
para algum
. Da primeira, com
,
; mas como
e
, necessariamente
e
. Então
implica
. E
junto com
força
Portanto
. Concluímos que o conjunto de todos os períodos é exatamente
Passo 5
Interpretações e observações úteis para a prova
- Conclusão prática: a função
é periódica no sentido complexo com período fundamental (ou primitivo) — isto é, o menor deslocamento imaginário não nulo que reproduz os valores é (até sinal e múltiplos inteiros). - Observação: não existe período real não nulo: se
e então , porque para todo . - Exemplo concreto para fixar: para
,
e para
também
. Isso ajuda a visualizar que a repetição ocorre andando verticalmente (na direção imaginária) no plano complexo, de passo
.
Resposta
Para todo
vale
.
O conjunto de todos os períodos é , logo o período imaginário puro fundamental é
.
O conjunto de todos os períodos é